函数的单调性定义的延伸应用

函数的单调性有好多有用的结论，理解并灵活应用有助于我们的解题。

• 结论1：已知函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递增(或减)，则\(F(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递增(或减)；

证明：任取\(x_1<x_2\in D\)，则由\(f(x)\)，\(g(x)\)在\(D\)上单调递增，

则\(f(x_1)<f(x_2)\)，\(g(x_1)<g(x_2)\)，

\(F(x_1)-F(x_2)=f(x_1)+g(x_1)-[f(x_2)+g(x_2)]\)

\(=f(x_1)-f(x_2)+g(x_1)-g(x_2)<0\)，

即函数\(F(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递增；

同理可证，函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递减，则\(F(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递减；

简单应用：比如\(y=x\)在\(R\)上单调递增，\(y=x^3\)在\(R\)上单调递增，

则\(y=x+x^3\)在\(R\)上就单调递增，这一性质就能帮助我们理解和掌握更多函数的性质。

• 结论2：已知函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递减，则\(F(x)=f(x)-g(x)\)在\(D\)上单调递增；

证明：仿上完成。

简单应用：比如\(y=x\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，\(y=\cfrac{1}{x}\)在\((0，+\infty)\)上单调递减，

则函数\(y=x-\cfrac{1}{x}\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递增。

• 结论3：已知函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递增，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)， 则\(H(x)=f(x)\cdot g(x)\)在\(D\)上单调递增；

证明：任取\(x_1<x_2\in D\)，则由\(f(x)\)，\(g(x)\)在\(D\)上单调递增，

则\(f(x_1)<f(x_2)\)，\(g(x_1)<g(x_2)\)，

即\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，\(g(x_1)-g(x_2)<0\)，

\(H(x_1)-H(x_2)=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_2)\cdot g(x_2)\)

\(=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_1)\cdot g(x_2)-[f(x_2)\cdot g(x_2)-f(x_1)\cdot g(x_2)]\)

\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]-g(x_2)\cdot[f(x_2)-f(x_1)]\)，

\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]\)，

由于\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，\(g(x_1)-g(x_2)<0\)，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)，

则上式\(f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]<0\)，

即\(H(x_1)-H(x_2)<0\)

即函数\(H(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递增；

简单应用：函数\(f(x)=x\)，\(g(x)=e^x\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递增，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)，

则\(H(x)=x\cdot e^x\)在\((0，+\infty)\)上单调递增；

• 结论4：已知函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递减，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)， 则\(H(x)=f(x)\cdot g(x)\)在\(D\)上单调递减；

证明：任取\(x_1<x_2\in D\)，则由\(f(x)\)，\(g(x)\)在\(D\)上单调递减，

则\(f(x_1)>f(x_2)\)，\(g(x_1)>g(x_2)\)，

即\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，\(g(x_1)-g(x_2)>0\)，

\(H(x_1)-H(x_2)=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_2)\cdot g(x_2)\)

\(=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_1)\cdot g(x_2)-[f(x_2)\cdot g(x_2)-f(x_1)\cdot g(x_2)]\)

\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]-g(x_2)\cdot[f(x_2)-f(x_1)]\)，

\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]\)，

由于\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，\(g(x_1)-g(x_2)>0\)，且\(f(x)>0\)，\(g(x)>0\)，

则上式\(f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]>0\)，

即\(H(x_1)-H(x_2)>0\)

即函数\(H(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递减；

• 结论5：已知函数\(f(x)\)，\(g(x)\)在区间\(D\)上单调递减，且\(f(x)<0\)，\(g(x)<0\)， 则\(H(x)=f(x)\cdot g(x)\)在\(D\)上单调递增；

证明：任取\(x_1<x_2\in D\)，则由\(f(x)\)，\(g(x)\)在\(D\)上单调递减，

则\(f(x_1)>f(x_2)\)，\(g(x_1)>g(x_2)\)，

即\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，\(g(x_1)-g(x_2)>0\)，

\(H(x_1)-H(x_2)=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_2)\cdot g(x_2)\)

\(=f(x_1)\cdot g(x_1)-f(x_1)\cdot g(x_2)-[f(x_2)\cdot g(x_2)-f(x_1)\cdot g(x_2)]\)

\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]-g(x_2)\cdot[f(x_2)-f(x_1)]\)，

\(=f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]\)，

由于\(f(x_1)-f(x_2)>0\)，\(g(x_1)-g(x_2)>0\)，且\(f(x)<0\)，\(g(x)<0\)，

则上式\(f(x_1)\cdot [g(x_1)-g(x_2)]+g(x_2)\cdot [f(x_1)-f(x_2)]<0\)，

即\(H(x_1)-H(x_2)<0\)，

即函数\(H(x)=f(x)+g(x)\)在\(D\)上单调递增；