给你一个字符串集，要求构造一个$01$串$S$，每个位置等概率的插入$0,1$。
问字符串集中每个字符串最先出现在构造的串中的概率。
考虑到合法状态其实只有$n$个，其余的状态可以合并成一个状态——"不合法的状态"。
如果能这样列出方程，那么复杂度就是$O(n^3)$，是可以接受的。
设$S$为一种不合法的状态（即没人赢），$A=101,B=110$
引理：构造出一个长的$l$特定$01$串的概率是$$\frac1{2^l}$$
到$S+101$状态一定会停止游戏，但不一定要等到$101$加完才停止。
如果SS的后缀是$1$或者$10$那么就会提前结束。
也就是说可能会有这些情况：
$$S101=(S+A)+(S‘+A+01)+(S‘‘+B+1)$$
其中$$S=S‘+10=S‘‘+1$$
根据上面的引理，可以得到方程：
$$\frac18S=(1+\frac14)A+\frac12B$$
也就是说对与每一个$S+x_i,len(x_i)=m$，
如果$x_j$存在长度为$a$的后缀能匹配$x_i$的前缀,,那么就有
$$\frac1{2^{m-a}}$$
的概率提前结束。
设$pre_{a,x_i}$表示$x_i$长度为$a$的前缀，后缀$suf_{a,x_i}$同理。
写成通式就是：
$$x_i+\sum_{j=1}^n\sum_{a=1}^m[pre_{a,x_i}=suf_{a,x_j}]\frac1{2^{m-a}}x_j=\frac1{2^m}S$$
这样我们就只有$n+1$个方程了。
最后再把其中一个方程替换为$\sum x_i=1$。
至于如何快速匹配前缀和后缀就套路性地丢给了字符串哈希。。。
解方程自然是高斯消元。
附代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MAXN 310
#define eps (1e-12)
using namespace std;
int n,m;
char ch[MAXN];
double p[MAXN],ans[MAXN],f[MAXN][MAXN];
unsigned long long base[MAXN],hash_pre[MAXN][MAXN],hash_suf[MAXN][MAXN];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)w=-1;c=getchar();}
while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){date=date*10+c-‘0‘;c=getchar();}
return date*w;
}
void solve(int n){
for(int i=1;i<=n;i++){
int k=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(f[j][i])-fabs(f[k][i])>eps)k=j;
for(int j=i;j<=n+1;j++)swap(f[i][j],f[k][j]);
if(fabs(f[i][i])<eps)continue;
double num=f[i][i];
for(int j=i;j<=n+1;j++)f[i][j]/=num;
for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=j){
num=f[j][i];
for(int k=i;k<=n+1;k++)f[j][k]-=f[i][k]*num;
}
}
for(int i=n;i>=1;i--){
for(int j=i+1;j<=n;j++)f[i][n+1]-=f[i][j]*ans[j];
ans[i]=f[i][n+1]/f[i][i];
}
}
void work(){
solve(n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.10lf\n",ans[i]);
}
void init(){
n=read();m=read();
base[0]=p[0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++){
base[i]=base[i-1]*3;
p[i]=p[i-1]*0.5;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%s",ch+1);
for(int j=1;j<=m;j++){
hash_pre[i][j]=hash_pre[i][j-1]+(ch[j]==‘H‘?1:2)*base[j];
hash_suf[i][j]=hash_suf[i][j-1]*3+(ch[m-j+1]==‘H‘?1:2)*3;
}
}
f[n+1][n+2]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i][n+1]=-p[m];
f[n+1][i]=1;
for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=m;k++)if(hash_pre[i][k]==hash_suf[j][k])f[i][j]+=p[m-k];
}
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
原文：https://www.cnblogs.com/Yangrui-Blog/p/9919764.html