二项式反演及其证明

有一类问题是这样的:你可以推出<=i的方案数,你想求出恰好i的方案数
设<=i的方案数为a(i),恰好为i的方案数为b(i)
有\[a(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}b(i)\]
相当于知道a(n),要求b(n)
二项式反演:\[b(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}a(i)\]
证明:
\[b(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}a(i)\]
\[=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}b(j)\]
\[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\binom{i}{j}b(j)\]
\[=\sum_{j=0}^n\sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\binom{i}{j}b(j)\]
由于\[\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}\]
原式\[=\sum_{j=0}^n\sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}b(j)\]
考虑这一坨\[\binom{n}{j}\sum_{i=j}^n(-1)^{n-i}\binom{n-j}{i-j}\]
当j=n时,该式=1
否则为0
于是原式\[=b(n)\],得证.

二项式反演及其证明

原文：https://www.cnblogs.com/sdzwyq/p/9920531.html