[LOJ6356]四色灯

题目大意：

有\(n(n\le10^9)\)个编号\(1\sim n\)的格子和\(m(m\le20)\)个按钮。每个格子有一个初始为\(0\)的数，每个按钮有一个数字\(a_i\)，表示若这个按钮被选中，编号为\(a_i\)倍数的格子上的数字\(+1\)。

现在随机选取一个按钮的集合，求数值为\(4\)的倍数的格子的期望个数。

思路：

用\(f(S)\)表示\(1\sim n\)中，编号为\(\operatorname{lcm}(S)\)的倍数的格子数。

\(g(S)\)表示\(1\sim n\)中，编号\(x\)为\(\operatorname{lcm}(S)\)的倍数，且不存在集合\(T\)，满足\(S\in T\)且\(\operatorname{lcm}(T)|x\)的格子数。

则答案为\(\sum\limits_{S}g(S)\sum\limits_{k}{|S|\choose 4k}\cdot2^{m-4k}\)。

时间复杂度\(\mathcal O(3^m)\)。

由于相同大小的集合，其贡献可以一起算。因此我们用\(G(x)\)表示\(\sum\limits_{|S|=x}g(S)\)，则最终答案可表示为\(\sum\limits_{i}g(i)\sum\limits_{k}{i\choose 4k}\cdot2^{m-4k}\)。

时间复杂度\(\mathcal O(2^mm)\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define popcount __builtin_popcount
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
typedef long long int64;
const int M=21,mod=998244353;
int a[M],f[M],g[M],c[M][M];
void exgcd(const int &a,const int &b,int &x,int &y) {
    if(!b) {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
}
inline int inv(const int &x) {
    int ret,tmp;
    exgcd(x,mod,ret,tmp);
    return (ret%mod+mod)%mod;
}
int main() {
    const int n=f[0]=getint(),m=getint();
    for(register int i=0;i<=m;i++) {
        for(register int j=c[i][0]=1;j<=i;j++) {
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
        }
    }
    for(register int i=0;i<m;i++) {
        a[i]=getint();
    }
    for(register int s=1;s<1<<m;s++) {
        int64 lcm=0;
        for(register int i=0;i<m;i++) {
            if((s>>i)&1) {
                lcm=lcm?lcm*a[i]/std::__gcd(lcm,1ll*a[i]):a[i];
            }
            if(lcm>n) break;
        }
        (f[popcount(s)]+=n/lcm)%=mod;
    }
    std::copy(&f[0],&f[m]+1,g);
    for(register int i=m;i>=0;i--) {
        for(register int j=i+1;j<=m;j++) {
            g[i]-=1ll*g[j]*c[j][i]%mod;
            (g[i]+=mod)%=mod;
        }
    }
    int ans=0;
    for(register int i=0;i<=m;i++) {
        int tmp=0;
        for(register int j=0;j<=i;j+=4) {
            (tmp+=1ll*c[i][j]*(1<<(m-i))%mod)%=mod;
        }
        (ans+=1ll*g[i]*tmp%mod)%=mod;
    }
    printf("%lld\n",1ll*ans*inv(1<<m)%mod);
    return 0;
}

[LOJ6356]四色灯

原文：https://www.cnblogs.com/skylee03/p/10034212.html