第一章:
复数为x + yi
复数的模为 sqrt(x2 + y2)
复数的三角表达式为 sqrt(x2 + y2)(cosθ + sinθ * i)
复数的指数表达式为 sqrt(x2 + y2)eiθ
求复数的n次幂可使用指数表达式简化计算
求复数的i次根号可使用sqrt(x2 + y2)eiθ + 2kπ的i次根号求得, 一共有i个解 k = 0,1,2,,,,,,i-1
平面映射 w = 1/z
设w = u + i*v z = x + y*i
带入w = 1/z可得 x = u/(u2 + v2) y = -v/(u2 + v2)
带入z平面中的方程即可得到w平面上对应的方程
第二章:
可导:从各个方向趋近于点p的导数相同即点p可导
可微:同一元函数
解析:在p和p的邻域内处处可导
可导的充要条件:
f(z) = u(x,y) + i*v(x,y)
u,v在定义域点x+iy可微且满足柯西黎曼方程
柯西黎曼方程: ?u / ?x = ?v / ?y ?u / ?y = -?v / ?x
解析的充要条件:
f(z) = u(x,y) + i*v(x,y)
u,v在定义域D内处处可微且满足柯西黎曼方程
柯西黎曼方程: ?u / ?x = ?v / ?y ?u / ?y = -?v / ?x
区别在于一个是点,一个是定义域
初等函数
大部分初等函数服从实数域上初等函数的性质
z = x + i*y
ez = ex(cosy + i siny)
ez + 2kπi = ez
Lnz = ln(|z|) + i Argz
因为角度又可以加2kπ
所以定义主值为 ln(|z|) + i argz
原文:https://www.cnblogs.com/shensobaolibin/p/10116510.html