欧几里得与扩展欧几里得算法

欧几里得算法：最大公因数\((gcd）\)

该算法基于：
\(gcd(a,b)=gcd(b,a\)%\(b)\)

证明：
令\(a\) % \(b = r\),

则 \(a = k * b + r,\)

因此\(r = a - k * b\)

设\(d\)为\(a，b\)的公约数，那么\(d|a， d|b,\)

则\(a - k * b\) 能被\(d\)整除，即\(d|r\)，即\(d|(a\) % \(b)\)，

因此\(d\)是\(b\) 和 \((a\) %\(b)\)的公约数，

因此\(a,b\) 的公约数和\(b, (a\)%\(b)\)的公约数是同一个数，

得出\(gcd(a,b)=gcd(b,a\)%\(b)\)

同时知道\(gcd(a,0)=a\)

因此递归求解即可：

inline int gcd(int a,int b)
{
    if (b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

对于这个简单的gcd，背结论不求甚解我觉得是可以dei

扩展欧几里得算法\((exgcd)\)

对于一类形如\(ax+by=gcd(a,b)\)的方程求解其x，y的一组解：

通过辗转法，可得\(bx+y(a\)%\(b)=gcd(b,a\)%\(b)\)

用除法代替取模，则：\(bx+y(a-[a/b]*b)=gcd(b,a\)%\(b)\)(这一步仅仅是原方程的变形)

根据上述欧几里得算法可得，\(gcd(a,b)=gcd(b,a\)%\(b)\)

因此\(ax+by=bx‘+y‘(a-[a/b]*b)\)

通过乘法分配律和结合律的运算可得：\[ax+by=ay‘+b(x‘-[a/b]*y‘)\]

其中，\(x‘\)和\(y‘\)是方程\(bx+y(a-[a/b]*b)=gcd(b,a\%b)\)的解，用来借助这个已经求得的x‘和y‘结合已知的a和b推得现在的解\(x,y.\)其中\(a\)和\(b\)不变。我们可以通过递归来求。

递归的边界：
\(ax+by=gcd(a,0)\)时，即\(b=0\)时，\(x=1\ y=0\).显而易见。

故代码很好理解了吧：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int x,y;
int exgcd(int a,int b)
{
    if (b==0) 
    { 
        x=1; 
        y=0; 
        return a; 
    }
    int n=exgcd(b,a%b);
    int t=x;
    x=y; 
    y=t-a/b*y;
    return n;
}
int main(void)
{
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    cout<<exgcd(a,b)<<endl;//这里输出最大公约数
    cout<<x<<‘ ‘<<y<<endl;//这个输出方程ax+by=gcd(a,b)的解
    return 0;
}

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