有空再编辑。
是学生感觉比较难的数学内容之一，记住以下的常见变形是很有效的。
由于\((n-1)(n-1)<n(n-1)<n^2<n(n+1)<(n+1)(n+1)\)，
故由倒数法则得到
\(\cfrac{1}{(n+1)(n+1)}<\cfrac{1}{n(n+1)}<\cfrac{1}{n^2}<\cfrac{1}{n(n-1)}<\cfrac{1}{(n-1)(n-1)}\)
\(\cfrac{1}{(n+1)(n+1)}<\cfrac{1}{(n-1)(n+1)}<\cfrac{1}{n(n-1)}\)；
\(\cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}<\cfrac{1}{2n(2n-1)}\)；等等。
\(\fbox{例1}\)(2017宝鸡中学第一次月考第21题改编)
已知函数满足\(f(n)-f(n-1)=4(n-1)，n\in N^*\)，
①求\(f(n)\)的不等式；
分析：如果能意识到\(a_n=f(n)\)，则应该想到用累加法求解，得到\(f(n)=2n^2-2n+1\)
②求证：\(\cfrac{1}{f(1)}+\cfrac{1}{f(2)}+\cfrac{1}{f(3)}+\cdots+\cfrac{1}{f(n)}<\cfrac{3}{2}\)；
证明：由于\(\cfrac{1}{f(n)}=\cfrac{1}{2n^2-2n+1}<\cfrac{1}{2n^2-2n}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n})\)
第一项保持不动，\(\cfrac{1}{f(1)}=1\)，
\(\cfrac{1}{f(2)}<\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{2})\)；
\(\cfrac{1}{f(3)}<\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})\)；
\(\cdots\)
\(\cfrac{1}{f(n)}<\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n})\)；
故\(\cfrac{1}{f(1)}+\cfrac{1}{f(2)}+\cfrac{1}{f(3)}+\cdots+\cfrac{1}{f(n)}\)
\(=1+\cfrac{1}{2}[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+\cdots+(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n})]\)
\(=1+\cfrac{1}{2}(1-\cfrac{1}{n})=\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{2n}<\cfrac{3}{2}\)；
原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/5867164.html