写在前面：
群论是个很奇妙的东西，多多少少会一些，系统地学一下
一篇学习笔记，便于复习
我们都在努力奔跑，我们都是追梦人
by sourcerabbit
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二元运算 二元运算是由两个元素形成第三个元素的一种规则 ——bia度百科 |
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在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构 在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构 群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的 群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响 ——bia度百科 |
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给定一个集合G，以及在集合G上的二元运算”？“，并且满足： ①封闭性：?a，b∈G，?c∈G，满足a？b==c ②结合律：?a，b，c∈G，满足(a？b)？c==a？(b？c) ③单位元e：?e∈G，?a∈G，满足a？e==e？a==a ④逆元：?a∈G，?b∈G，满足a？b==b？a==e，记b==a-1 则称集合G在运算”？“之下是一个群，简称G是群 ”？“可以是任意运算： 如果是具体的乘法，那么就称G为乘法群 如果是具体的加法，那么久称G为加法群 群G中元素的个数可以是有限的，可以是无限的 如果有限，则称G为有限群 有限群的元素个数称为有限群的阶 如果无限，则称G为无限群 ——信息学奥赛之数学一本通 |
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子群 如果(G，？)是群，H是G的非空子集，且(H，？)也是群，那么称H是G的子群 ——bia度百科 |
群论是法国数学家伽罗瓦的发明。伽罗瓦是一个极具传奇性的人物，年仅21岁就英年早逝于一场近乎自杀的决斗中，他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之前柯西，阿贝尔等人也对群论作出了贡献
最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时，经由J.-L.拉格朗日、P.鲁菲尼、N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题
某个数域上一元n次多项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（有限群）。由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn，而当n≥5时Sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解
伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，A.-L.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇论文，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在C.若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的来源
在数论中，拉格朗日和C.F.高斯研究过由具有同一判别式D的二次型类，即f=ax2+2bxy+cy2，其中abс为整数，xy取整数值，且D=b2-aс为固定值，对于两个型的"复合"乘法，构成一个交换群。J.W.R.戴德金于1858年和L.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要来源
在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱在对 "自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。在1870年前后，索菲斯·李开始研究连续变换群即解析变换李群，用来阐明微分方程的解，并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源
A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，E.V.亨廷顿，E.H.莫尔，L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致
在1896～1911年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版，颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在20世纪初，也有专著，如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来，有限群论取得了巨大的进展，1981年初，有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展
时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和幺半群理论及对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展
——bia度百科
两个有意思的群：
来自3Blue1Brown的神仙
翻译：Solara570
接着引入了复数：
对于乘法运算，可以建立一种类似的模型：
接着引入了复数：
原文：https://www.cnblogs.com/Antigonae/p/10263184.html