有限与无限转化是数学中的一种重要的思想方法。如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\)中“\(\cdots\)”即代表无限次重复，但原式却是个定值\(x\)，这可以通过方程\(\sqrt{2+x}=x\)确定出来\(x=2\)，类似地可以把循环小数化为分数，把\(0.\dot{3}\dot{6}\)化为分数的结果是______.
相关解读：
①分析：圆内接正多边形的课件
暂缺。
②求解无理方程。令\(\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}=x\)，则原式可写成\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=x\)，通过方程\(\sqrt{2+x}=x\)确定出来\(x=2\)。
③本题思路1：利用无穷递缩等比数列的前\(n\)项和计算。
分析如下：
\(0.\dot{3}\dot{6}=0.36+0.0036+0.000036+\cdots=36(0.01+0.0001+0.000001+\cdots)=36\times\cfrac{0.01(1-0.01^{+\infty})}{1-0.01}\xlongequal{结合极限}36\times \cfrac{1}{99}=\cfrac{36}{99}=\cfrac{4}{11}\)
思路2：利用整体思想代换处理。
\(0.\dot{3}\dot{6}\times 100=36.\dot{3}\dot{6}\)，
上式两边同时减去\(0.\dot{3}\dot{6}\)，得到\(0.\dot{3}\dot{6}\times 100 -0.\dot{3}\dot{6} =36.\dot{3}\dot{6} - 0.\dot{3}\dot{6}\)，
即\(99\times 0.\dot{3}\dot{6}=36\)，故\(0.\dot{3}\dot{6}=\cfrac{36}{99}=\cfrac{4}{11}\)
④对应练习：\(0.\dot{4}\dot{7}=\cfrac{47}{99}\)，\(0.\dot{3}=\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3}\)，\(0.4\dot{7}=\cfrac{43}{90}\)，
提示：\(0.4\dot{7}\times 10=4.\dot{7}\)，\(0.4\dot{7}\times 100=47.\dot{7}\)，两式作差\(90\times 0.4\dot{7}=47-4=43\)，故\(0.4\dot{7}=\cfrac{43}{90}\)。
原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10292740.html