复变函数笔记

复变函数小结

by婉约在风里

对于复变函数，其重点便在于解析函数这一块，整个复变函数可以说是围绕着解析函数来进行论述的，解析函数的定义——在某一点邻域所有点可导的函数，称之为解析函数。与此同时，柯西黎曼方程，便顺势而生，这也是一个判断复变函数是否解析的很好的等价条件。提到导数，一定会有人有疑问，既然，实变函数的导数代表的切线斜率，代表函数值的变化速度，那么复变函数的导数又有什么意义呢？其实，这里的几何意义很明显，导数的模的平方就是将复区域(定义域)映射为复区域(值域)的面积之比。这么一想，和实变函数的导数好像没什么两样呀，其实很还是有的，毕竟是区域，和区间还是有差别的，这里不单单会涉及到值，还会涉及到方向，也就是辐角，因此在这方面，会涉及保角映射。这和几何上面欧氏空间的保角映射和保长映射其实并无两样。

之后便是研究解析函数的核心工具——幂级数。和实函数一样，解析函数也有自己的幂级数展开，而且，解析函数有着和实函数不一样的性质，复变函数如果在某个区域是解析的，那么他的级数展开收敛圆一定可以延拓到区域边界。这样神奇的性质还是要归功于柯西定理的应用，而柯西定理就像一把钥匙，打开了解析函数性质研究的大门，使之诸多性质被发掘出来。同样，反函数的问题，一样存在于复平面，复平面的特殊性质，使之与实函数的反函数相差很大，i的存在，使得反函数的存在多种多样，于是导出了多值函数，其根源就在于辐角的变化，如果将定义域的辐角限制到，0到$\pi$，便会使得很多多值函数变为单值函数。

此后，我们得到了解析函数的定义，以及研究解析函数的工具，我们便可以对其开始研究啦。我们说到幂级数，便会想到幂级数的系数从何而来，这里我们用到了柯西积分公式，并简单的交换了级数和积分的顺序，便得到了幂级数展开式，而系数也很容易和导数联系起来，至此我们也变得到了解析函数求其n阶导数的公式。从而，我们得到了，柯西不等式， 零点孤立原理等等实用的定理。此时，我们需要着重介绍一下一个分析定理在复变函数的应用，也就是开映射定理，因为开映射定理的存在，使复函数不能在开区间映射为闭区间，也就是不能在内点处得到函数的最大模，这就是最大模原理，解析函数在区域的最大值只能在边界取到，后面的施瓦茨引理等等都是对最大模原理的应用，可以说最大模原理也是复变函数的重点定理，利用这个定理，可以解决很多实际问题，再次不做赘述。

后面，便要学习洛朗级数，也是针对解析函数的非解析奇点部分的级数展开，这样子，我们便有了去了解亚纯函数的工具了。利用洛朗级数的展开特征，我们可以将奇点分为，可去奇点，极点，以及本性奇点。

这时候，常用的解析方法都介绍完毕了，我们要开始将这些应用实际利用我们的问题中去了，其中最为大家所熟悉的方法，便是留数定理的应用。留数定理，本质上是将函数洛朗级数展开后，对每一项进行积分，由于只有次数为-1时，含奇点的单连通区域积分才不为零，我们便可以利用一些特殊方法计算奇点处洛朗展开式的-1次项的系数，进而计算复变积分，与此同时，对于实积分，我们可以将其延拓至复平面，然后进行分析计算，这就是复变函数在实变函数上面的积分的应用，此后还有辐角原理，也算是留数的一个应用，其几何意义也相当明显，在此略过。之后的调和函数，严格意义上，也算是复变方法在实变函数的应用了。

复变函数笔记

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