Manacher 马拉车算法

首先感谢 https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4475985.html 这篇文章，给了我很大帮助，解释的很详细。

最近在学习lyd的算法竞赛书，学到求最长回文串的时候就看到了O(n)复杂度的Manacher算法，书上给的是hash+二分做法，复杂度为O(nlg_n),所以我就去学习了一下Manacher算法.

上面大佬的文章比较详细了，我在这里再说一下我当时比较迷惑地方，以及我注意的一些细节 我这个人就是和细节过不去，一点细节上解释不明白我就感觉自己还是不会

如何计算数组 p

一般的方法，是以中心点为中心，挨个将半径逐步扩张，直至字符串不再是回文字符串。但是这样做，整体的算法复杂度为 O(n^2)。马拉车算法的关键之处，就在于巧妙的应用了回文字符串的性质，来计算数组 p。

马拉车算法在计算数组 p 的整个流程中，一直在更新两个变量：

(1)id：回文子串的中心位置

(2)mx：回文子串的最后位置

使用这两个变量，便可以用一次扫描来计算出整个数组 p，关键公式为：

 p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;

我们用图示来理解这个公式，如下图：

当前，我们已经得到了 p[0...i-1]，想要计算出 p[i] 来。红1为以 j 为中心的回文子串，红2为以 i 为中心的回文子串，红3为以 id 为中心的回文子串（首尾两端分别为mx的对称点和mx）。

那么，如果 mx 在 i 的右边，则我们可以通过已经计算出的 p[j] 来计算 p[i]，其中 j 与 i 的中心点为 id。这里分两种情况：

（1） 先直接令 p[i] 的回文子串就等于 p[j] 的回文子串，即红2长度等于红1，然后判断红2的末尾是否超过了 mx，如果没有超过，则说明 p[i] 就等于 p[j]。

为什么呢？

因为以 id 为中心的回文子串为红3，包含了红1和红2，而且红1和红2以 id 为中心，那么一定有红2=红1。并且已经知道，红1是以 j 为中心的最长子串，那么红2也肯定是以 i 为中心的最长子串。

（2）如果红2的末尾超过了 mx，那么就只能让 p[i] = mx - i了，即我可以保证至少半径到 mx 这个位置，是可以回文的，但是一旦往右超出了 mx，就不能保证了，剩下的只能用笨方法慢慢扩张来得到最长回文子串。

那如果红2的左边超出了mx的对称点，怎么办？不会出现这种情况的，因为红1的右边不会超过mx。如果超过了mx，那么在上一次迭代中，id应该更新为j，mx应该更新为 j+p[j]。在迭代中，会始终保证 mx 是所有已经得到的回文子串末端最靠右的位置。

另外，如果 mx 不在 i 的右边呢？那就利用不了红3的对称性了，只能使用笨方法慢慢扩张了。

mx更新为i+p[i] 所以此时mx指的是目前最长回文串的下一个字符，因此 p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1  中不用把mx-i改为mx-i+1 ,当时这个地方还有点不解呢

string manacher(string s)
{
    string tmp = "$#";
    for (int i = 0; i < s.size(); i++)
    {
        tmp += s[i]; //插入
        tmp += "#";
    }
    int len = tmp.size();
    vector<int> p(len, 0);
    int mx = 0, id = 0, resLen = 0, resCenter = 0;
    for (int i = 1; i < len; i++) // <len就是当 i=len-1 时 p[i]+i 就是字符串最后一个字符‘\0‘  
    {
        p[i] = mx > i ? min(mx - i, p[2 * id - i]) : 1;
        while (tmp[i + p[i]] == tmp[i - p[i]]) p[i]++;
        if (i+p[i] > mx)
        {
            mx = p[i]; //更新回文串最右端 也就是目前最长回文串
            id = i;
        }
        if (p[i] > resLen)
        {
            resLen = p[i];
            resCenter = i;
        }
    }
    return s.substr((resCenter-resLen)/2,resLen-1);
}

Manacher 马拉车算法

原文：https://www.cnblogs.com/xiaoguapi/p/10355714.html