数学分析中的基本定理

1.冯诺依曼极小极大定理

\begin{Example}
\[\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \log ( k ) } { k ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 6 } \pi ^ { 2 } ( - 12 \log ( A ) + \gamma + \log ( 2 ) + \log ( \pi ) ),\]
其中$A$是Glaisher-Kinkelin Constant.
\end{Example}
\begin{Proof}

\end{Proof}

\begin{Example}
设二元函数$f(x,y)$在正方形区域$[0,1]\times [0,1]$上连续.记$J=[0,1]$.
\begin{enumerate}
\item 试比较$\inf_{y\in J}\sup_{x\in J}f(x,y)$与$\sup_{x\in J}\inf_{y\in J}f(x,y)$的大小并证明之;

\item 给出并证明使等式
\[\inf_{y\in J}\sup_{x\in J}f(x,y)=\sup_{x\in J}\inf_{y\in J}f(x,y)\tag{$\ast$}\]
成立的(你认为最好的)充分条件.
\end{enumerate}
\end{Example}
\begin{Proof}
对任意固定的$y\in J$,有
\[\sup_{x\in J}f(x,y)\geq f(x,y)\geq \inf_{y\in J}f(x,y),\quad \forall x\in J,\]
所以
\[\sup_{x\in J}f(x,y)\geq \sup_{x\in J}\inf_{y\in J}f(x,y).\]
由$y$的任意性可知
\[\inf_{y\in J}\sup_{x\in J}f(x,y)\geq\sup_{x\in J}\inf_{y\in J}f(x,y).\]

若$f(x,y)\equiv$常数,则等式($\ast$)显然成立.但这种情况太平凡.一个更有意义的条件是$f(x,y)$关于其中某一变量单调.不妨考察$f(x,y)$对变量$x$单调递增的情形.

上面已证明了($\ast$)式左端$\geq$右端,现证左端$\leq$右端.因$f(x,y)$对$x$单调递增,所以固定$y\in J$有
\[\sup_{x\in J}f(x,y)=f(1,y).\]
由于$f(1,y)$关于$y$在区间$J$上连续,因此存在$y_0\in J$使得
\[f(1,y_0)=\inf_{y\in J}f(1,y)=\inf_{y\in J}\sup_{x\in J}f(x,y),\]
但\[f(1,y_0)=\inf_{y\in J}f(1,y)=\sup_{x\in J}\left[\inf_{y\in J}f(x,y)\right],\]
因此
\[\inf_{y\in J}\sup_{x\in J}f(x,y)\leq \sup_{x\in J}\inf_{y\in J}f(x,y).\]
得证.
\end{Proof}

2.

数学分析中的基本定理

原文：https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/10396984.html