1.闭集与完备的关系
证明完备空间的闭子集是一个完备的子空间,
而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集.
证明: 设 XX
是一完备空间, AA
为其一闭子集, 则对任一 CauchyCauchy
列 \sed{x_n}\subset A{x
n
}?A
, 有 x_n\to x\in Xx
n
→x∈X
. 由 AA
的闭性, 即有 x\in Ax∈A
, 而 AA
是完备的. 再设 XX
是一度量空间, AA
为其一完备子空间, 则对 \forall\ \sed{x_n}\subset
A? {x
n
}?A
, x_n\to xx
n
→x
, 有 x_nx
n
为 XX
(亦为 AA
)中的 CauchyCauchy
列, 而 x\in Ax∈A
.
2.Newton
法
设 ff
是定义在 [a,b][a,b]
上的二次连续可微的实值函数, \hat x\in (a,b)x
^
∈(a,b)
使得 f(\hat x)=0f(x
^
)=0
, f‘(\hat x)\neq 0
. 求证存在 \hat x
的领域 U(\hat x)
, 使得 \forall\ x_0\in U(\hat x)
, 迭代序列 \bex
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f‘(x_n)}\quad (n=0,1,2,\cdots) \eex
是收敛的, 并且 \bex \lim_{n\to\infty}x_n=\hat x.
\eex
证明: 由 f‘(\hat
x)\neq 0
知 \bex \exists\ \delta>0,\ s.t.\ x\in \bar
B(\hat x,\delta)\ra f‘(x)\neq 0. \eex
考虑 \bex T:\ \bar B(\hat x, \delta) \mapsto
x-\frac{f(x)}{f‘(x)}, \eex
有 \bex T(\hat x)=\hat x,\quad \frac{\rd
T}{\rd x}(\hat x)=0. \eex
于是由连续性, \bex \exists\ 0<\ve<\delta,\ s.t.\
x\in \bar B(\hat x,\delta)\ra \sev{\frac{\rd T}{\rd x}(x)}\leq \frac{1}{2},
\eex
且 \bex \sev{Tx-\hat x} =\sev{Tx-T\hat x}
=\sev{T‘\sex{(1-\theta)x+\theta \hat x}}\cdot \sev{x-\hat x} \leq
\frac{1}{2}\ve\ \sex{x\in \bar B(\hat x,\ve)}. \eex
在 Banach
空间 \bar B(\hat x,\ve)
中考虑压缩映射 T
, 即知 \sed{x_n}
收敛. 记 \dps{\lim_{n\to\infty}x_n=x\in \bar B(\hat
x,\delta)}
, 则由 Rolle
定理及 f‘(x)\neq 0\ (x\in \bar B(\hat
x,\ve))
知 x=\hat x
.
3.非扩张映射的不动点
设 (\calX,\rho)
是度量空间, 映射 T:\calX\to \calX
满足 \rho(Tx,Ty)<\rho(x,y)\ ( \forall\ x\neq y
)
, 并已知 T
有不动点. 求证此不动点是唯一的.
证明: 设 \bex
Tx=x,\quad Ty=y \eex
且 x\neq y
, 则 \bex \rho(x,y)=\rho(Tx,Ty)<\rho(x,y),
\eex
这是一个矛盾. 于是 x=y
.
4.压缩映射的性质
设 T
是度量空间上的压缩映射, 求证 T
是连续的.
证明: 设 \bex T:\
(\calX,\rho)\to (\scrY,r) \eex
满足 \bex x,y\in X\ra r(Tx,Ty)\leq \alpha\rho(x,y),
\eex
其中 \alpha\in (0,1)
. 则 \bex \forall\ \ve>0,\ \exists\
\delta=\frac{\ve}{\alpha}>0,\ s.t.\ \rho(x,y)<\delta\ra r(Tx,Ty)<\ve.
\eex
5.压缩映射的复合
设 T
是压缩映射, 求证 T^n ( n\in \bbN )
也是压缩映射, 并说明逆命题不一定成立.
证明: 设 \exists\
\alpha\in (0,1)
, s.t. \bex x,y\in X&\ra&\rho(Tx,Ty)\leq
\alpha \rho(x,y) \eex
则 \bex \rho(T^nx, T^ny) \leq \alpha
\rho(T^{n-1}x,T^{n-1}y) \leq \cdots \leq \alpha^n \rho(x,y), \eex
于是 T^n
为压缩映射. 现有例 \bex T:\ [0,1]\ni x\mapsto
\frac{x^2}{2}\in [0,1] \eex
说明逆命题不一定成立. 事实上,
(1)T
不是压缩的, 因为 \forall\ \alpha\in (0,1)
, \exists\ x>y>\alpha
, s.t. \bex \sev{Tx-Ty} =\frac{\sev{x+y}}{2}\cdot
\sev{x-y} >\alpha \sev{x-y}. \eex
(2)T^2
是压缩的, 因为 \bex T^2x=T\sex{\frac{x^2}{2}}
=\frac{x^4}{8}, \quad \sev{\frac{\rd T^2}{\rd x}(x)} =\frac{x^3}{2}\leq
\frac{1}{2}. \eex
6.非扩张映射不动点的存在性
设 M
是 (\bbR^n,\rho)
中的有界闭集, 映射 T:M\to M
满足: \rho(Tx,Ty)<\rho(x,y)\ (\forall\ x,y\in
M,\ x\neq y)
. 求证 T
在 M
中存在唯一的不动点.
证明: 记 f(x)=\rho(x,Tx)
, 则由 \bex \rho(x,Tx)\leq
\rho(x,y)+\rho(y,Ty)+\rho(Ty,Tx) \leq 2\rho(x,y)+\rho(y,Ty)\quad (x,y\in
X) \eex
知 f
于 M
上连续, 而 \bex \exists\ x_0\in M,\ s.t.\
\rho(x_0,Tx_0)=\min_{x\in M}\rho(x,Tx)(\equiv m). \eex
现若 x_0\neq Tx_0
, 则 \bex m\leq f(Tx_0) =\rho(Tx_0,T^2x_0)
<\rho(x_0,Tx_0)=m, \eex
这是一个矛盾. 于是 x_0=Tx_0
, x_0
为 T
的一个不动点. 不动点的唯一性在题 \ref{1.1.3}
中已证.
7.一积分方程连续解的存在性---压缩映象原理的应用
对于积分方程 \bex
x(t)-\lambda \int_0^1 e^{t-s}x(s)\rd s=y(t), \eex
其中 y(t)\in C[0,1]
为一给定 函数, \lambda
为常数, \sev{\lambda}<1
, 求证存在唯一解 x(t)\in C[0,1]
.
证明: 积分方程 \bex
x(t)-\lambda \int_0^t e^{t-s}x(s)\rd s=y(t) \eex
等价于 \bex e^{-t}x(t)=e^{-t}y(t)+\lambda \int_0^t
e^{-s}x(s)\rd s. \eex
记 \bex \xi(t)=e^{-t}x(t),\quad
\eta(t)=e^{-t}y(t), \eex
则原问题等价于映射 \bex T:\ C[0,1]\ni \xi(t)\mapsto
\eta(t)+\lambda \int_0^t \xi(s)\rd s\in C[0,1] \eex
有唯一的不动点, 而这可由压缩映象原理得到. 事实上, \bex \sup_{t\in
[0,1]} \sev{T\xi_1(t)-T\xi_2(t)} =\lambda \sev{\int_0^1 \xi_1(s)-\xi_2(s)\rd s}
\leq \lambda \sup_{t\in [0,1]}\sev{\xi_1(t)-\xi_2(t)}. \eex
张恭庆编《泛函分析讲义》第一章第1节 度量空间习题解答
原文:http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3548217.html