课件：Lecture 3: Planning by Dynamic Programming
视频：David Silver强化学习第3课 - 动态规划(中文字幕)
动态(Dynamic): 问题中的时序部分
规划(Planning): 对问题进行优化
动态规划将问题分解为子问题, 从子问题的解中得到原始问题的解.
马尔可夫决策过程满足上面两种性质:
贝尔曼方程 给出了问题的递归分解表示, 值函数 存储和复用了问题的解.
\[ v_{\pi}(s) = \sum \limits_{a \in \mathcal{A}} \pi(a|s) (\mathcal{R}_s^a + \gamma \sum \limits_{s' \in \mathcal{S}} \mathcal{P}_{ss'}^{a}v_{\pi}(s')) \]
动态规划假设我们知道MDP的所有知识, 包括状态、行为、转移矩阵、奖励甚至策略等.
对于预测(Prediction)问题:
对于控制(Control)问题:
问题: 评估一个给定的策略 \(\pi\)
求解: 对贝尔曼期望方程进行迭代, \(v_1 \to v_2 \to \dots \to v_{\pi}\)
通常使用同步备份(synchronous backups)方法:
对于第 \(k+1\) 次迭代, 所有状态 \(s\) 在第 \(k+1\) 时刻的价值 \(v_{k+1}(s)\) 用 \(v_k(s')\) 进行更新, 其中 \(s'\) 是 \(s\) 的后继状态.
\[ \begin{aligned} v _ { k + 1 } ( s ) & = \sum _ { a \in \mathcal { A } } \pi ( a | s ) \left( \mathcal { R } _ { s } ^ { a } + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } \in \mathcal { S } } \mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } ^ { a } v _ { k } \left( s ^ { \prime } \right) \right) \\mathbf { v } ^ { k + 1 } & = \mathcal { R } ^ { \pi } + \gamma \mathcal { P } ^ { \pi } \mathbf { v } ^ { k } \end{aligned} \]
迭代策略评估算法:
迭代策略评估算法用来估计 \(V \approx v_{\pi}\).
这里使用in-place版本, 即只保留一份 \(v\) 数组, 没有新旧之分.
通常来说, 该方法也能收敛到 \(v_{\pi}\), 而且收敛速度可能更快.
终止条件: \(\max \limits_ { s \in \mathcal{S} } \left| v _ { k + 1 } ( s ) - v _ { k } ( s ) \right|\) 小于给定的误差 \(\Delta\)
例子: Small Gridworld [代码]
让我们考虑一个确定性策略(即对于一个状态来说, 其采取的动作是确定的, 而不是考虑每个动作的概率) \(a = \pi(s)\).
我们可以通过贪心选择来改进策略 \(\pi\):
\[ \pi ^ { \prime } ( s ) = \underset { a \in \mathcal { A } } { \operatorname { argmax } } q _ { \pi } ( s , a ) \]
即状态 \(s\) 的新策略为令动作值函数 \(q_{\pi}(s, a)\) 取得最大值的动作.
相应地, 动作值函数 \(q _ { \pi } \left( s , \pi ^ { \prime } ( s ) \right)\) 得到了改进:
\[ q _ { \pi } \left( s , \pi ^ { \prime } ( s ) \right) = \max _ { a \in \mathcal { A } } q _ { \pi } ( s , a ) \geq q _ { \pi } ( s , \pi ( s ) ) = v _ { \pi } ( s ) \{\scriptsize 由于是确定性策略, 才会有 v_{\pi}(s) = q_{\pi}(s, \pi(s))} \tag{1} \]
注: 确定性策略下的动作值函数 \(q_{\pi}(s, a)\) 为:
\[
\begin{aligned} q _ { \pi } ( s , a ) & = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } + \gamma v _ { \pi } \left( S _ { t + 1 } \right) | S _ { t } = s , A _ { t } = a \right] \\ & = \sum _ { s ^ { \prime } , r } p \left( s ^ { \prime } , r | s , a \right) \left[ r + \gamma v _ { \pi } \left( s ^ { \prime } \right) \right] \end{aligned}
\tag{2}
\]
从而, 值函数 \(v _ { \pi ^ { \prime } } ( s )\) 也得到了改进:
\[ \begin{aligned} v_\pi(s) & \le q_\pi(s,\pi^{'}(s)) {\scriptsize //公式(1)} \\ &={\Bbb E}[R_{t+1} + \gamma v_\pi(S_{t+1})|S_t=s, A_t=\pi^{'}(s)] {\scriptsize //公式(2)} \&={\Bbb E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma v_\pi(S_{t+1})|S_t=s]\ {\scriptsize //注意外层是在新策略 \pi^{'} 下求期望} \\ & \le {\Bbb E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma q_\pi(S_{t+1},\pi'(S_{t+1}))|S_t=s] {\scriptsize //对状态S_{t+1}使用公式(1)} \\ &= {\Bbb E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma {\Bbb E}_{\pi'}\left[ R_{t+2}+\gamma v_{\pi}\left( S_{t+2}\right) | S_{t+1}, A_{t+1}=\pi^{'}(S_{t+1}) \right] | S_t=s]\\ &= {\Bbb E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma^2 v_{\pi}\left( S_{t+2} \right)|S_t=s] {\scriptsize //去掉括号内的期望} \\ & \le {\Bbb E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma ^2 q_\pi(S_{t+2},\pi'(S_{t+2}))|S_t=s] {\scriptsize //对状态S_{t+2}使用公式(1)} \\ &= {\Bbb E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma^2 {\Bbb E}_{\pi'}\left( R_{t+3}+\gamma v_{\pi}\left( S_{t+3} \right) \right)|S_t=s]\\ &= {\Bbb E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma^2 R_{t+3}+\gamma^3 v_{\pi}\left( S_{t+3} \right)|S_t=s]\\ & \vdots \& \le {\Bbb E}_{\pi'}[R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma^2 R_{t+3}+\gamma^3 R_{t+4} + \dots |S_t=s]\\ &=v_{\pi^{'}}(s) \\ \end{aligned} \]
当改进停止时, 有如下等式:
\[ q _ { \pi } \left( s , \pi ^ { \prime } ( s ) \right) = \max _ { a \in \mathcal { A } } q _ { \pi } ( s , a ) = q _ { \pi } ( s , \pi ( s ) ) = v _ { \pi } ( s ) \tag{3} \]
可以说, 此时公式(3)满足了贝尔曼最优方程:
\[ v _ { \pi } ( s ) = \max _ { a \in \mathcal { A } } q _ { \pi } ( s , a ) \]
从而, 对所有状态 \(s\) 来说, 有\(v_{\pi}(s) = v_{*}(s)\), 即策略 \(\pi\) 改进到了最优策略.
给定一个策略 \(\pi\), 我们可以首先对策略进行评估, 然后根据值函数 \(v_{\pi}\) 进行贪心地改进策略.
\[ \pi _ { 0 } \stackrel { \mathrm { E } } { \longrightarrow } v _ { \pi _ { 0 } } \stackrel { \mathrm { I } } { \longrightarrow } \pi _ { 1 } \stackrel { \mathrm { E } } { \longrightarrow } v _ { \pi _ { 1 } } \stackrel { \mathrm { I } } { \longrightarrow } \pi _ { 2 } \stackrel { \mathrm { E } } { \longrightarrow } \cdots \stackrel { \mathrm { I } } { \longrightarrow } \pi _ { * } \stackrel { \mathrm { E } } { \longrightarrow } v _ { * } \]
其中, \(\stackrel { \mathrm { E } } { \longrightarrow }\) 表示策略评估, \(\stackrel { \mathrm { I } } { \longrightarrow }\) 表示策略改进.
评估(Evaluate):
\[
v _ { \pi } ( s ) = \mathbb { E } \left[ R _ { t + 1 } + \gamma R _ { t + 2 } + \ldots | S _ { t } = s \right]
\]
改进(Improve):
\[
\pi^{'} = \text{greedy}(v_{\pi})
\]
由于每个策略都比前一个策略更优, 同时一个有限状态的马尔可夫决策过程(finite MDP)仅有有限个策略, 因此该过程一定能够在有限次的迭代中收敛到最优策略 \(\pi_{*}\) 和最优值函数 \(v_{*}\).
策略迭代算法:
策略迭代算法分为: 初始化, 策略评估 以及 策略改进 三部分.
其中, 策略改进部分的终止条件为: 是否所有状态的策略不再发生变化.
例子: Jack’s Car Rental [代码] (先占个坑 , 等有时间把这个例子详细写下)
策略迭代求解结果:
图中纵坐标是位置 \(1\) 的汽车数量, 横坐标是位置 \(2\) 的汽车数量, 该问题共有 \(21 \times 21\) 个状态.
图中的等高线将状态划分为不同的区域, 区域内的数值代表相应的策略(正数代表从位置 \(1\) 移往位置 \(2\) 的汽车数量, 负数则往反方向移动).
策略评估并不需要真正的收敛到 \(v_{\pi}\). (比如在 Small Gridworld例子中, 迭代 \(k=3\)次 即可以得到最优策略.)
为此我们可以引进终止条件, 如:
或者每次迭代(即 \(k=1\) )都对策略进行更新改进, 这种情况等价于值迭代(value iteration).
广义策略迭代(Generalized Policy iteration，GPI)指代让策略评估(policy-evaluation)和策略改进(policyimprovement)过程进行交互的一般概念, 其不依赖于两个过程的粒度(granularity)和其他细节.
几乎所有强化学习方法都可以很好地被描述为GPI. 也就是说, 它们都具有可辨识的策略与值函数. 其中, 策略 \(\pi\) 通过相应的值函数 \(v\) 进行改进, 而值函数 \(V\) 总是趋向策略 \(\pi\) 的值函数 \(v^{\pi}\). 如下图所示,
策略迭代的一个缺点是它的每次迭代都涉及策略评估, 这本身就是一个需要对状态集进行多次扫描的耗时迭代计算.
而在值迭代的过程中, 并没有出现显式的策略, 并且中间过程的值函数可能也不和任何策略对应.
一个最优策略可以被分解为两部分:
该原则的意思是说, 一个策略 \(\pi(a|s)\) 在状态 \(s\) 取到最优值函数 \(v_{\pi}(s) = v_{*}(s)\) 当且仅当 对于所有从状态 \(s\) 出发可到达的状态 \(s^{\prime}\), 策略 \(\pi\) 也能够在状态 \(s^{\prime}\) 取到最优值函数.
如果我们已经知道子问题的最优解 \(v_{\*}(s^{\prime})\), 那么状态 \(s\) 的最优解可以通过向前看(lookahead)一步得到, 这称为值迭代(Value Iteration):
\[ v_{*}(s) \gets \max \limits_{a \in \mathcal{A}} \left( \mathcal{R}_{s}^{a} + \gamma \sum \limits_{s' \in \mathcal{S}} \mathcal{P}_{ss'}^{a} v_{*}(s') \right) \]
值迭代算法:
值迭代算法和策略迭代算法一样, 是用来估计最优策略 \(\pi_{\*}\) 的, 它将策略评估和策略改进有效地结合在了一起.
| 问题 | 贝尔曼方程 | 算法 |
|---|---|---|
| 预测(Prediction) | 贝尔曼期望方程 | 迭代策略评估 |
| 控制(Control) | 贝尔曼期望方程 + 贪心策略改进 | 策略迭代 |
| 控制(Control) | 贝尔曼最优方程 | 值迭代 |
对于有 \(m\) 个动作和 \(n\) 个状态 的MDP来说, 每次迭代的时间复杂度如下:
| 函数 | 复杂度 |
|---|---|
| \(v_{\pi}(s)\) or \(v_{*}(s)\) | \(\mathcal{O}(mn^2)\) |
| \(q_{\pi}(s, a)\) or \(q_{*}(s, a)\) | \(\mathcal{O}(m^2n^2)\) |
同步DP算法的主要缺点是每次迭代都需要对整个状态集进行扫描, 这对于状态数非常多的MDP来说耗费巨大. 而异步DP算法则将所有的状态独立地,以任意顺序进行备份, 并且每个状态的更新次数不一, 这可以显著地减少计算量.
为了保证算法的正确收敛, 异步动态规划算法必须保证所有状态都能够持续地被更新(continue to update the values of all the states), 也就是说在任何时刻任何状态都有可能被更新, 而不能忽略某个状态.
异步DP算法主要有三种简单的思想:
同步DP保留值函数的两个备份, \(v_{new}\) 和 \(v_{old}\)
\[ {\color{red} {v_{new}(s)}} \gets \max \limits_{a \in \mathcal{A}} \left( \mathcal{R}_{s}^{a} + \gamma \sum \limits_{s' \in \mathcal{S}} \mathcal{P}_{ss'}^{a} {\color{red} {v_{old}(s')}} \right) \]
就地值迭代只保留值函数的一个备份.
\[ {\color{red} {v(s)}} \gets \max \limits_{a \in \mathcal{A}} \left( \mathcal{R}_{s}^{a} + \gamma \sum \limits_{s' \in \mathcal{S}} \mathcal{P}_{ss'}^{a} {\color{red} {v(s')}} \right) \]
使用贝尔曼误差的大小来进行状态的选择:
\[ \left| \max _ { a \in \mathcal { A } } \left( \mathcal { R } _ { s } ^ { a } + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } \in \mathcal { S } } \mathcal { P } _ { s s ^ { \prime } } ^ { a } v \left( s ^ { \prime } \right) \right) - v ( s ) \right| \]
仅备份有最大贝尔曼误差的状态
在每次备份后, 需要更新受到影响的状态(即备份状态的前驱状态)的贝尔曼误差
可以使用优先队列进行实现
\[ {\color{red} {v \left( S _ { t } \right)}} \gets \max _ { a \in \mathcal { A } } \left( \mathcal { R } _ { {\color{red}{S _ { t }}} } ^ { a } + \gamma \sum _ { s ^ { \prime } \in \mathcal { S } } \mathcal { P } _ { {\color{red} {S _ { t }}} s ^ { \prime }} ^ { a } {\color{red} {v \left( s ^ { \prime } \right)}} \right) \]
DP使用全宽备份(full-width backups)
对于大规模DP问题会遇到维数灾难
进行一次备份都太奢侈了
采样备份(Sample Backups)使用采样的奖励和采样的转移 \(< S , A , R , S ^ { \prime } >\) 来替代奖励函数 \(\mathcal{R}\) 和 转移矩阵 \(\mathcal{P}\).
采样备份的优点:
关于上面的种种算法, 我们可能会有如下疑问:
为了解决这些问题, 需要引入压缩映射(contraction mapping)理论.
可以参考: 如何证明迭代式策略评价、值迭代和策略迭代的收敛性？
(关于压缩映射理论有时间再补充, 先到这里吧...)
原文：https://www.cnblogs.com/orzyt/p/10459092.html