树状数组(二维)

问题：一个由数字构成的大矩阵，能进行两种操作 
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数（可正可负） 
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询，输出结果。

一维树状数组很容易扩展到二维，在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为：

C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中， 
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x, 
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.

例：举个例子来看看C[][]的组成。 
设原始二维数组为： 
　 A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19}, 
{a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29}, 
{a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39}， 
{a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}}; 
那么它对应的二维树状数组C[][]呢？

记: 
B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,…} 这是第一行的一维树状数组 
B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,…} 这是第二行的一维树状数组 
B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,…} 这是第三行的一维树状数组 
B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,…} 这是第四行的一维树状数组 
那么： 
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,… 
这是A[][]第一行的一维树状数组

C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24, 
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,… 
这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组

C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,… 
这是A[][]第三行的一维树状数组

C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,… 
这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组 
搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗？ 仔细研究一下,会发现:

（1）在二维情况下，如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为： 

 1 void Modify(int i, int j, int delta)
 2 {
 3 
 4     A[i][j]+=delta;
 5 
 6     for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
 7         for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y))
 8         {
 9             C[x][y] += delta;
10         }
11 }

（2）在二维情况下，求子矩阵元素之和∑ a[i]j的函数为 

 1 int Sum(int i, int j)
 2 {
 3     int result = 0;
 4     for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x))
 5     {
 6         for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y))
 7         {
 8             result += C[x][y];
 9         }
10     }
11     return result;
12 }

比如： 
Sun(1,1)=C[1][1]; Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];… 
Sun(2,1)=C[2][1]; Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];… 
Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 typedef long long LL;
 4 
 5 const int N = 1100;
 6 
 7 int t, n;
 8 LL bit[N][N];
 9 
10 inline int lowbit(int x) {
11     return x & (-x);
12 }
13 
14 LL Query(int x, int y) {
15     LL ans = 0;
16     for (int i = x; i > 0 ; i -= lowbit(i))
17         for (int j = y; j > 0; j -= lowbit(j))
18             ans += bit[i][j];
19     return ans;
20 }
21 
22 void Modify(int x, int y, int c) {
23     for (int i = x; i < N; i += lowbit(i)) 
24         for (int j = y; j < N; j += lowbit(j))
25             bit[i][j] += c;
26 }

树状数组(二维)

原文：https://www.cnblogs.com/zxz666/p/10574146.html