生成函数

其他：

对\[{1\over 1-x}=1+x+x^2+x^3\cdots\]
进行加减乘除求导积分，或把\(x\)代换成\(ax\)等方法得到一些奇怪的公式，参见小函数\(qwq\)
令\(x\)取\(-x\)则原式变为容斥形式

指数型生成函数

\(~~~~\)生成函数的每一项系数变为\[\frac {a_i}{i!}\]\(~~~~\)这样可以发现一些规律，并且在求解组合数问题时会派到用场。

生成函数解一次递推题：

step1：

\(~~~~\)设出母函数的幂级数形式，利用递推公式（左右两边相减得0）把幂级数形式乘除加减求导积分化为闭形式。

step2：

\(~~~~\)把闭形式分解成可以化成确切已知幂级数的小函数（见文章最后）加减形式，得到通项公式。

生成函数解二次递推题：

step1：

\(~~~~\)利用生成函数（大眼观察法）求出\(f(0,m)\)的通项公式(可以理解成\(f(0,m)\)与\(f(0,0)\)的关系)。

step2：

\(~~~~\)固定列\(m\)(把\(m\)当作常数),求出\(f(n,m)\)与\(f(0,m)\)的关系(通项公式，但是除n外，带常数m)，把\(f(m,0)\)代入得\(f(n,m)\)与\(f(0,0)\)的关系，即通项公式。
\(~~~~\)例题

卷积型生成函数解递推式：

递推公式大致形态:\(h_n=\sum_{i=0}^n h_i\times h_{n-i}\)

核心操作：

令\(g(x)\)为其生成函数，则可得到：相邻两阶导数的关系，将生成函数幂级数形式求导带入，根据对应项相等，可得\(O(n)\)递推公式。例题

生成函数解排列组合问题：

可以求解的问题：

\(~~~~\)用一些物品组合成一个集合的方案数，对物品的选取有要求，如只能选某个数的倍数次，或不多于某个数等。

step1：

\(~~~~\)每个物品分别用指数代表贡献，系数代表方案，互斥的选取方法用+连接，不同物品乘起来。

step2：

\(~~~~\)把整个式子化成闭形式，再展开成幂级数形式，i项的系数就是组成集合有总数为i的贡献的方案数。

另一种方法：

在特殊限制下，每一个物品都有单位选取个数，且可以选无数个，那么可以设生成函数\[A(x)=\sum a_i\times x^i\]\(a_i\)表示单位选取方案数，\(m_i\)表示单位个数，那么答案生成函数
\[B(x)=\sum_{n\ge 0} A(x)^n={1\over 1-A(x)}\]
即从选几个物品的角度来看，每次从中选一个。

指数型生成函数的意义：

\(~~~~\)若求排列数，那么就要使用指数型生成函数，多项式系数仍代表组合数，数列代表排列数，最后得到一个幂级数，它的系数就是排列数。（组合数？？？为什么不直接除阶乘？？？？）

秘籍\(\cdot\)小函数：

\(1\).\[\sum_{n\ge 0}x^{n} ={1 \over 1-x}\]
\(2\).\[\sum_{n\ge 0}{n+m-1\choose m-1}x^{n}=\frac 1{(1-x)^m}\]
(多个函数卷积，插板法)
\(4\).\[\sum_{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}=e^x(from~taylor)\]
\(5\).\[\sum_{n\ge 1}\frac{x^n}{n}=\ln\frac{1}{1-x}\]
\(7\).\[\sum_{0\le n\le p}x^n=\frac{1-x^{p+1}}{1-x}\]
(\(1\)保留本身 \(-x^{p+1}\)把他后面\(p+1\)项减掉，只有\(1\)~\(p\)没有被减)
\(10\).\[\sum_{n\ge 0}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{e^x + e^{-x}}{2}(from~4)\]
\(11\).\[\sum_{n\ge 0} \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}=\frac{e^x - e^{-x}}{2}(from~4)\]
\(12\).\[\sum_{n \ge 0}(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}=\ln(1+x)(???)\]
****
\(13\).\[\sum_{n\ge 0} {a\choose n}\times x^n=(1+x)^a (from~high-text-book)\]
\(14\).\[\sum_{n\ge 0} (x+y)^n=\frac {1}{1-x-y}(x=x+y)\]
\(3\).\[\sum_{n\ge 0}c^nx^n=\frac{1}{1-cx}(x=cx)\]
\(8\).\[\sum_{0\le n\le p}x^{n\times a}=\frac{1-x^{a\times(p+1)}}{1-x^a} (x=x^a)\]

关键：

把意义与函数指数系数对应起来。

坑

多项式取ln

生成函数

原文：https://www.cnblogs.com/Smeow/p/10582635.html