构造法求数列通项公式

前言

一、理解内涵

你见到这样的式子\(a_{n+1}－a_n = m\) (\(m\)常数)你一定会反应出是等差数列，那么见到 \(S_{n+1}－S_n = m\) (\(m\)常数)还能看出来是等差数列吗，所以你还需要特别注意：对代数式\(a_{n+1}－a_n = m\)或\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n} = m\) (\(m\)常数)中\(a_{n+1}\)和\(a_n\)的“内涵”的理解。以下引例加深对等差数列中字母内涵的理解：

①\(\cfrac{1}{a_{n+1}}－\cfrac{1}{a_n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{1}{a_n}\}\)是首项为\(\cfrac{1}{a_1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

②\(\cfrac{1}{S_{n+1}}－\cfrac{1}{S_n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{1}{S_n}\}\)是首项为\(\cfrac{1}{a_1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

③\(\cfrac{a_{n+1}}{n+1}－\cfrac{a_n}{n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{n}\}\)是首项为\(\cfrac{a_1}{1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

④\(\cfrac{n}{a_{n+1}+(n+1)}－\cfrac{n-1}{a_n+n} = m\)，则数列\(\{\cfrac{n-1}{a_n+n}\}\)是首项为\(\cfrac{1-1}{a_1+1}\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑤\((a_{n+1}+(n+1))－(a_n + n) = m\)， 则数列\(\{a_n+n\}\)是首项为\(a_1+1\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑥\(a_{n+1}^2－a_n^2 = m\)，则数列\(\{a_n^2\}\)是首项为\(a_1^2\)，公差为\(m\)的等差数列；

⑦\(log_m^\,{a_{n+1}^2}－log_m^\,{a_n^2} = p\)，则数列\(\{log_m^\,{a_n^2}\}\)是首项为\(log_m^\,{a_1^2}\)，公差为\(p\)的等差数列；

⑧\(a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\)，则数列\(\{a_{n+1}-2a_n\}\)是首项为\(a_2-2a_1\)，公差为\(0\)的等差数列；

以上所列举的凡此种种，都是等差数列，能用一个表达式刻画吗？

\[a_{n+1}-a_n=d，d为常数\]

因此务必要求理解透彻\(a_{n+1}\)和\(a_n\)的“内涵”；籍此理解：代数，就是用字母代替数字来思维的一门学科。

以下引例用于加深对等比数列的字母内涵的理解：

①\(\cfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1} = m\)， 则数列\(\{a_n+1\}\)是首项为\(a_1+1\)，公比为\(m\)的等比数列；

②\(\cfrac{a_{n+1}+(n+1)}{a_n + n} = m\)，则数列\(\{a_n+n\}\)是首项为\(a_1+1\)，公比为\(m\)的等比数列；

③\(\cfrac{a_{n+1}^2}{a_n^2} = m\)，则数列\(\{a_n^2\}\)是首项为\(a_1^2\)，公比为\(m\)的等比数列；

④\(a_{n+2}-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)\)，则数列\(\{a_{n+1}-a_n\}\)是首项为\(a_2-a_1\)，公比为\(2\)的等比数列；

⑤\(lga_{n+1}=2lga_n\)，则数列\(\{lga_n\}\)是首项为\(lga_1\)，公比为\(2\)的等比数列；

二、常见构造

• ①基本型 \(a_{n+1}=pa_n+q(p\neq 0，1；q\neq 0)\)；

思路：两边同时加上常数\(k\)，构造等比数列\(a_{n+1}+k=p(a_n+k)\)求解；其中\(k=\cfrac{q}{p-1}\)；

• ②\(a_{n+1}=pa_n+q^n\)型；

思路：两边同时除以\(q^{n+1}\)，得到\(\cfrac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\cfrac{p}{q}\cdot \cfrac{a_{n}}{q^{n}}+\cfrac{1}{q}\)，即\(b_{n+1}=mb_n+h\)，转化为上述类型①；

• ③\(a_{n+1}=\cfrac{pa_n}{a_n+q}\)型；

思路：两边同时取倒数，转化为类型①求解；

• ④\(a_{n+1}=pa_n+qn+r(p\neq 0，1；q\neq 0；r\neq 0)\)型；【了解】

思路：构造等比数列，令\(a_{n+1}+x(n+1)+y=p(a_n+xn+y)\)，利用两个多项式相等，对应系数相等求得\(x\)、\(y\)，利用等比数列求解；

• ⑤\(a_{n+1}=a_n^r(r\in N^*)\)型；【了解】

思路：两边同时取对数，构造等比数列求解；

• ⑥\(a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n\)型；【了解】

思路：转化为\(a_{n+2}-sa_{n+1}=p(a_{n+1}-sa_n)\)，其中\(\left\{\begin{array}{l}{s+t=p}\\{st=-q}\end{array}\right.\)；

构造法求数列通项公式

原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10604133.html