\[A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\]
推导：把\(n\)个不同的元素任选\(m\)个排序，按计数原理分步进行：
取第一个：有\(n\)种取法；
取第二个：有\((n-1)\)种取法；
取第三个：有\((n-2)\)种取法；?
……
取第\(m\)个：有\((n-m+1)\)种取法；
……
最后一步，取最后一个：有\(1\)种取法。
根据分步乘法原理，得出上述公式。
\[C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!}\]
\[C_n^n=1\]
证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题\(A_n^m\)分解为两个步骤：?
第一步，就是从\(n\)个球中抽\(m\)个出来，先不排序，此即定义的组合数问题\(C_n^m\)；
第二步，则是把这\(m\)个被抽出来的球全部排序，即全排列\(A_n^m\)。
根据乘法原理，\(A_n^m=C_n^m A_m^m\)，那么 \[C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\]
原文：https://www.cnblogs.com/1024th/p/10623541.html