埃氏筛 线性筛(欧拉筛) 算法解析

埃氏晒

埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏晒，是一种用来求自然数n以内的全部素数。

他的基本原理是，如果我们要获得小于n的所有素数，那就把不大于根号n的所有素数的倍数剔除。

埃氏晒的原理很容易理解，一个合数，必然可以表示成，一个自然数 i 和一个素数的乘积。因此我们找到一个素数后，把他小于n的倍数全部标记为合数，这就是我们要做的。

void prime(int n) {
	bool flag[MAX];//0为素数 1为合数
	memset(flag, 0, sizeof(flag));
	for (int i = 2; i * i < n; i++) {
		//i为素数
		if (flag[i] == false) {
			for (int j = i * i; j < n; j += i) {
				//将其倍数标记为合数
				flag[j] = true;
			}
		}
	}
}

上述代码有几个关键点要注意

1. 外层循环的终止条件是 i * i < n，因为我们是要把不大于根号n的所有素数的倍数剔除。

2. 内层循环，j 可以从 i * i 开始，因为 i * (2 ~ i –1 )，在之前的循环中，已经被筛去。

我们如果观察被筛掉的数据，我们可以发现，一个合数，可能会被筛掉多次，例如，

30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5 * 6，所以30 就至少被2，3，5这三个质数分别筛过了，这个地方就会造成时间的浪费。我们能不能找到一种关系，使得每个合数，只被筛掉一次呢？

线性筛(欧拉筛)

欧拉筛是一种复杂度很低的素数筛选法，原因在于，每一个合数，只被筛选了一次。

void euler_sieve(int n) {
	//记录当前找到素数的数量
	int sum = 0;

	//flag用来记录第i个数字是否为合数  true为合数
	bool flag[MAX];
	memset(flag, 0, sizeof(flag));

	//primes用来记录每一个找到的素数
	int primes[MAX];
	memset(primes, 0, sizeof(primes));

	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!flag[i])
			primes[sum++] = i;
		for (int j = 0; i * primes[j] <= n; j++) {
			flag[i * primes[j]] = true;
			if (i % primes[j] == 0)
				break;
		}
	}
}

我们要用到的重要的定理：

                                                                                  \[n=Factory_{max} \ast P\]

上式中，n是一个合数，每一个合数都可以唯一的表示成如上的形式。其中

Factory是除了n以外的n的最大因数，而P满足一下两点：

1. P是一个素数

2. P小于等于Factory的所有因数

综上可知，P就是n的最小质因数。

证明如下：

1.假设P为合数，则P = P1 * P2 * ···· * Pn，其中，P1<P2<····<Pn，且Pi都为质数
因此存在一个F = Fatory * P1为n的因数，且F > Fatory，
所以和Factory是n的最大的因数矛盾，故假设不成立
2.假设P大于Factory的某个因数，不妨设P>P1
因为 Factory = P1 * P2 * ···· * Pn
因此 P * P2 * ··· * Pn 必然大于Factory
所以和Factory是n的最大因数矛盾，故假设不成立

上面的定理就是欧拉筛的原理，我们创建一个数组prime[]来存储目前找到的素数，一个数组flag[]用来标记数字是否为合数(合数为1)。我们每次枚举一个数字i(从2开始枚举)，如果这个flag[i] == 0，则i为质数，存入prime。然后把由i和目前已找到的素数相乘得到的合数，标记为1(flag[  i * prime[n]] = 1)。

如何保证prime[n]是i * prime[n] 的最小质因数？

由于任一个数字，都可以表示成有限质数的和，所以当 i % prime[n] == 0，时，可以得出，prime[n]是 i 的一个质因数，同时也是i * prime[n]的质因数，而prime[]数组中的素数，是我们从小到大得出的，此时prime[n]是 i * prime[n]的最小质因数(这部分不容易理解)，因此，prime[n+1] 等等都必定不是i * prime[n + 1]的最小质因数。

简单举个例子：

i =  77 =  7 * 11，此时prime[]中已经储存了 3 5 7 9 …等素数

1. prime[1] = 3 ，3满足 i * 3的最小质因数的条件

2.prime[2] = 5，5满足i * 5的最小质因数条件

3.prime[3] = 7，7满足 i * 7的最小质因数条件，但此时  i % 7 == 0，因为 i 的一个质因数也是7

4.prime[4] = 11，此时就不满足 是最小质因数的条件了，i 中有比11更小的因数，因此 i * 11 中也有比11更小的因数。

欧拉筛解释思路借鉴 链接

埃氏筛 线性筛(欧拉筛) 算法解析

原文：https://www.cnblogs.com/woxiaosade/p/10638818.html