sumdiv 算术基本定理的推论

sumdiv

Sol:

直接把A质因数分解，由算术基本定理的推论可知：
\[ ans=\prod^{cnt}_{i=1}(\sum^{B*c_i}_{j=0}p_i^j)\ (mod\ 9901) \]
可以发现，里面每一项都是一个等比数列求和，那么：
\[ ans=\prod^{cnt}_{i=1}(\frac{p_i^{B*c_i+1}-1}{p_i-1})\ (mod\ 9901) \]
所以可以直接算答案了。

需要注意的是，如果:
\[ 9901\ |\ p_i-1 \]
那么不能直接求其逆元，但是：
\[ p_i\equiv 1\ (mod\ 9901) \]
所以
\[ \sum^{B*c_i}_{j=0}p_i^j\equiv B*c_i+1\ (mod\ 9901) \]
同样可以直接算答案。

Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define RG register
#define IL inline
#define int long long
#define DB double 
using namespace std;

const int N=2e4+10;
const int mod=9901;

int A,B,tot,fac[N],cnt[N];

IL void prime_fac(int x) {
    RG int i;
    for (i=2;i*i<=x;++i)
        if (x%i==0) {
            fac[++tot]=i;
            while (x%i==0) x/=i,++cnt[tot];
        }
    if (x>1) fac[++tot]=x,cnt[tot]=1;
}

IL int mul(int a,int b) {
    RG int ans=0;
    for (;b;b>>=1,a=(a+a)%mod)
        if (b&1) ans=(ans+a)%mod;
    return ans;
}

IL int quick_pow(int x,int P) {
    RG int ans=1;
    for (;P;P>>=1,x=mul(x,x))
        if (P&1) ans=mul(ans,x);
    return ans;
}

signed main()
{   
    RG int i,ans;
    while (scanf("%lld%lld",&A,&B)!=EOF) {
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        tot=0,ans=1,prime_fac(A);
        for (i=1;i<=tot;++i) {
            if ((fac[i]-1)%mod==0) ans=mul(ans,(cnt[i]*B+1));
            else {
                ans=mul(ans,(quick_pow(fac[i],cnt[i]*B+1)-1+mod)%mod);
                ans=mul(ans,quick_pow(fac[i]-1,mod-2));
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

sumdiv 算术基本定理的推论

原文：https://www.cnblogs.com/Bhllx/p/10653883.html