证明 poj 1014 取模优化剪枝，部分递归 存在错误

做了这道题目，我才发现一道题即便可行，但是正确性也不一定。多数由于题目数据太弱。

poj 1014 Dividing

题目大意：有6堆石头，权重分别为1 2 3 4 5 6，要求输入 每堆个数 ，求是否可以平分石头使得两堆价值相同。

网上对这道题的做法就两种，其中有错误的版本，却也可以AC。起初这让我等菜鸟感慨代码的简洁，但无法得出正确性的证明

接下来就对两种方法的错误性进行证明。

1.多重背包

#include <map>
#include<string>
#include <iostream>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
#define MAXN 100+60000
int v[MAXN];
int a[MAXN/3];
int b[7] = {1, 60, 30, 20, 15, 12, 10};
int N,T,n,sum;
/*int direct[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1};
 int dp[210][210][210];*/
int max(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}


int main()
{
	int i,j,k,flag,casenum;
	casenum=0;
	while(1)
	{
		casenum++;
		memset(v,0,sizeof(v));
		flag=0;
		sum=0;
		n=0;
		for(i=0;i<6;i++)
		{
			scanf("%d",&k);
			if(k)
				flag=1;
			k=k%b[i+1];
			sum+=k*(i+1);
			for(j=1;j<=k;j++)
				a[n++]=i+1;
		}
		if(flag==0)
			break;
		if(sum&1)
		{
			printf("Collection #%d:\nCan't be divided.\n\n",casenum);
			continue;
		}
		flag=0;
		sum/=2;
		v[0]=1;
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			for(j=sum;j>=a[i];j--)
			{
				v[j]+= v[j-a[i]];
				if(v[sum])
				{
					flag=1;break;
				}
				if(flag)
					break;
			}
		}
		if(flag)
			printf("Collection #%d:\nCan be divided.\n\n",casenum);
		else
			printf("Collection #%d:\nCan't be divided.\n\n",casenum);
		
	}
	
	return 0;
}

状态定义的是有几种方法可以转到这里来

这句是一种优化，起初看到，觉得很神奇，但并不理解为什么可以这样做。

后来证明是错误的，证明如下：

取模优化是错误的，下面证明优化一堆的情况
1.1a+2b+3c+4d+5e+6f
2.60*m*t+     1a+2b+3c+4d+5e+6f（t是某堆石子的个数,m是某堆石子的权重）
证明优化正确即证明1 是 2 式是充分必要条件
当1成立时候，自然得到2成立（60可以分到两堆）
当2成立有两种情况，
第一种情况，2可分，1的部分本身可分，那么60*m*t 这部分本来分掉就好
第二种情况，2可分，1的部分本身不可分，需要将60*m*t这部分拆解分到两人才可行
由此得证将某个拆分掉是不可行的，但是不排除每堆都优化会遇到碰巧可行的情况
最后举个例子给大家
1. 0 0 0 0 66 5 -> 0 0 0 0 6 5   ture
2. 60 0 0 0 0 1 -> 0 0 0 0 0 1   fault

优化还是用2进制的方法优化吧（1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品）

1. 为何网上有些转移方程为v[i][j]=max(v[i-1][j],v[j-a[i]]+a[i])? 
2. 答：可以看到j-a[i]表明与a[i]互补的状态，其实为j，从所有的J角度来看，并未改变，这是v[0]=0 

2. dfs版本（转载于大牛Blog）

//Memory Time 
//452K 0MS 

/*DFS*/

#include<iostream>
using namespace std;

int n[7];  //价值为i的物品的个数
int SumValue;  //物品总价值
int HalfValue;  //物品平分价值
bool flag;    //标记是否能平分SumValue

void DFS(int value,int pre)
{
	if(flag)
		return;

	if(value==HalfValue)
	{
		flag=true;
		return;
	}

	for(int i=pre;i>=1;i--)
	{
		if(n[i])
		{
			if(value+i<=HalfValue)
			{
				n[i]--;
				DFS(value+i,i);

				if(flag)
					break;
			}
		}
	}
	return;
}

int main(int i)
{
	int test=1;
	while(cin>>n[1]>>n[2]>>n[3]>>n[4]>>n[5]>>n[6])
	{
		SumValue=0;  //物品总价值

		for(i=1;i<=6;i++)
			SumValue+=i*n[i];

		if(SumValue==0)
			break;

		if(SumValue%2)    //sum为奇数，无法平分
		{
			cout<<"Collection #"<<test++<<':'<<endl;
			cout<<"Can't be divided."<<endl<<endl;    //注意有空行
			continue;
		}

		HalfValue=SumValue/2;
		flag=false;

		DFS(0,6);

		if(flag)
		{
			cout<<"Collection #"<<test++<<':'<<endl;
			cout<<"Can be divided."<<endl<<endl;
			continue;
		}
		else
		{
			cout<<"Collection #"<<test++<<':'<<endl;
			cout<<"Can't be divided."<<endl<<endl;
			continue;
		}
	}
	return 0;
}

1.为什么没有回溯，而是直接减去了数量n[i]--;

答：两个人选择，必然是将这部分分为两份，如果不选择到最接近的数字，那剩余的则是更接近的

2.从大到小选择？

答：可能有多个小的可以用一个大的数字直接替换掉

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

但是存在问题。

其本质是使用了贪心的策略，但无法满足有些“跳跃”的要求

eg: 0 0 3 0 3 1  需要选取的数字是不连续的，其实还要有回溯的。

避免这个问题可以用这个版本

void divide(int cur_value, int cur_index)  
{  
        // set break point  
        if (flag)  
                return;  
        if (cur_value == half_value)  
        {  
                flag = true;  
                return;  
        }  
        if (cur_value > half_value || cur_index >= max_index)  
                return;  
        divide(cur_value+array[cur_index], cur_index+1);  
        divide(cur_value, cur_index+1);  
}  

看来在学习的过程中还是要慎行慎信

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证明 poj 1014 取模优化剪枝，部分递归 存在错误

原文：http://blog.csdn.net/gg_gogoing/article/details/38453273