[TJOI2018]教科书般的亵渎

题目链接：点这里

Solution:

我们推导一下，不难得出它让我们求的东西，我们可以发现杀死所有的随从需要\(m+1\)张亵渎

设\(S(x)=\sum_{i=1}^x i^{m+1}\)，则题目要求的答案计算式为：
\[ F(x)=\sum_{j=0}^m \sum_{i=j+1}^{m+1}S(a_i-a_j-1)-S(a_{i-1}-a_j) \]
特别的，我们令\(a_{m+1}=n+1\)

我们发现第二个sigma可以进行转换：
\[ F(x)=\sum_{j=0}^m (S(n-a_{j})-\sum_{i=j+1}^m(a_i-a_j)^{m+1}) \]
无数神犇告诉我们\(S(x)\)是一个以x为自变量的m+2次多项式(dalao的证明)，所以我们可以用拉格朗日插值来直接求

Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int K=55;
const int mod=1e9+7;
int ans,num,pro,a[K],f[K],fac[K]={1};
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int quickpow(int x,int y){
    int re=1;
    while(y){
        if(y&1) re=re*x%mod;
        x=x*x%mod;y>>=1;
    }return re%mod;
}
int Lagrange(int n,int k){
    pro=1,num=0;
    if(n<=k) return f[n];
    for(int i=1;i<=k;i++)
        pro=pro*(n-i)%mod;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int inv1=quickpow(n-i,mod-2);
        int inv2=quickpow((fac[i-1]%mod*fac[k-i])%mod,mod-2);
        int sign=(k-i)&1?-1:1;
        num=(num+sign*inv1*inv2%mod*f[i]%mod*pro%mod)%mod;
    }return (num+mod)%mod;
}
void solve(){
    int n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m+3;i++)
        f[i]=(f[i-1]+quickpow(i,m+1))%mod;
    for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=read();
    sort(a+1,a+m+1);ans=0;
    for(int i=0;i<=m;i++){
        ans=(ans+Lagrange(n-a[i],m+3))%mod;
        for(int j=i+1;j<=m;j++) ans=(ans+mod-quickpow(a[j]-a[i],m+1))%mod;
    }printf("%lld\n",(ans+mod)%mod);
}
signed main(){
    for(int i=1;i<=K;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    int T=read();while(T--) solve();
    return 0;
}

[TJOI2018]教科书般的亵渎

原文：https://www.cnblogs.com/NLDQY/p/10837444.html