Mandelbrot集不是哪一集！！啊不对……
Mandelbrot集是哪一集！！好像也不对……
Mandelbrot集是数集！！所以……他不是一集而是数集？？……
所以这个M...dem...集到底是什么啊？？
Mandelbrot集\(\mathbb{M}\)（简称曼集）是一个由二元复数构成的集合，也就是一个复数集：
\[
\mathbb{M}\subset\mathbb{C}
\]
也就是说，曼集的元素都是复数，也就是如下的形式：
\[
\forall m\in \mathbb{M},m=a+b\mathrm{i},\left(a,b\in \mathbb{R}\right)
\]
本华·曼德勃罗特（Benoit B.Mandelbrot）是分形学（Fractals） 的鼻祖，是的，Fractals这个词就是他提出的。
不过，这个集合本身并不是他本人提出的，而是一个叫做阿德里安·杜阿迪的法国数学家提出的，至于为什么以曼德勃罗特命名，根据wiki的说法是提出者为了向曼德勃罗特致敬而放弃用自己的名字命名。
一个复数\(z\)在或不在曼集中，取决于如下数列是否收敛：
\[
\zeta:z,f(z;c),f(f(z;c);c),\cdots,f\circ^n(z;c) \tag{1}
\]
\[
z,c\in\mathbb{C}
\]
其中，\(f(z;c)=z^2+c\)，\(c\)是一个复参数。
如果把\(f\circ^n(z;c)\)展开写的话就是：
\[
\begin{split}
\zeta_n&=f\circ^n(z;c)=z_n^2+nc \z_n&=z_{n-1}^2+c
\end{split}
\tag{2}
\]
由于在其中迭代的前一个\(z\)都是以平方的形式出现，这也就意味着
\[
\left|\Re\left(z_n\right)\right|\ge\left|\Re\left(z_{n-1}\right)\right|\ge 0 \\left|\Im\left(z_n\right)\right|\ge\left|\Im\left(z_{n-1}\right)\right|\ge 0
\]
这样一来，若\(z_n\)收敛，则\(z_m(m<n)\)必然收敛。
综上描述，有下结论：
\[
z\in\mathbb{M} \Leftrightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\zeta_n\in\mathbb{R} \tag{3}
\]
式3即曼集判定的充要条件或定义。
为了让问题变得简单，这里可以令初始值\(z=0\)，这样式2变成了仅与参数\(c\)相关的形式：
\[
\begin{split}
z_0 &=0 \z_1 &=c \z_2 &= z_1^2+c = c^2+c \z_3 &= z_2^2+c = c^4+2c^3+c^2+c \&\cdots \\end{split}
\]
这个……是的，这些东西听起来很不直观，以至于我也花了好久看了大量资料才搞清楚是什么意思。
但是，这件事本身的中心思想并不复杂，其无非做了这样的一件事情：
不必沮丧，我们甚至没打算去推导出\(z_n\)的完整展开形式，而且，计算机也无法处理需要运行无数次才能解决的问题（停机问题）。
但是，在有限的，可预见的次数（迭代数）内，进行这样的判定还是可行的并且能得出结果的。
说的对，因为只要迭代数\(n\)有限，\(z_n\)是总能求出确定值。但正因为如此，迭代数的增长才会产生实际的意义。这就好像，没有人能求出\(\pi\)的所有小数位数，但是每当有人多求出正确的一位的时候，其结果与实际值就总会更加接近。也就是说，只要范围有限，我们求得的曼集就总比实际的曼集大，但随着次数的增多，结果集合会向曼集逐渐地靠近。
所幸，在有限的次数内，我们尽管不能立即断言哪些数一定属于曼集，但我们能断言哪些数一定不属于曼集，那正是：
还没上高速公路就要起飞的，那必然是要玩完的
在有限次计算就体现出明显的发散趋势的时候，那基本也就抢救无效了
根据迭代函数的定义，\(f(z;c)=z^2+c\)，我们对函数的范数（也就是模，或者称为复数的绝对值）进行考察，至少如果\(f\)收敛，其模与带入z的模至少是相等的（当然，原则上幅角也应当相等），：
\[
|f(z;c)|=\left|z^2+c\right|=|z| \|z|^2-|c|=|z^2|-|c|\le|f(z;c)|=|z|\le|z^2|+|c|=|z|^2+|c| \|z|\ge0
\]
根据绝对值三角不等式（这个对复数域同样成立，实际上就是向量绝对值三角不等式的移植），若\(|z|=0\)则\(|c|\)必然为\(0\)，否则
\[
1-|c|\le|z|\le1+|c|
\]
由于迭代初始条件\(z_0=0\)，因此经过n次迭代后的\(z\)一定是
\[
z_n=\sum_{m=0}^{(n-2)^2}{k_mc^{m}} \c\le|z_n|\le\sum_{m=0}^{(n-2)^2}{|k_m||c^{m}|}
\]
上面的不等数右侧产生了一个很熟悉的形式——幂级数，如果要幂级数\(\sum_{m=0}^{(n-2)^2}{|k_m||c^{m}|}\)收敛，则\(|c|<1\)是必要条件（由于\(k_m\)的大小这里没有多加考虑，即使\(|c|<1\)满足，同样有发散的可能，这个可以在后续的迭代过程中会进一步的），否则根据幂级数的性质级数必然发散，这样得到了一个必要阈值：\(|c_\Theta|=1\)，将这个阈值带入，我们就能得到\(|z|\)的基础发散判定值：
\[
|z|\ge2\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}{\zeta_n}=\infty
\]
在后面的程序中，我们将使用这个值作为发散判定，意思就是说，如果算出\(|z|\ge 2\)了，那就不用考虑了，你不可能收敛的，至于剩下的值，我只假设但不断言它一定在集合内，因此我暂且将它认为是集合内的，如果经过更多的计算发现也达到这个红线条件了，那么同样不论这个值挣扎了多久，OUT！
但是，复数的收敛并不限于模收敛，当复数被整理为辐角形式\(r\angle\theta\)时，若\(\theta\)没有稳定值即便\(r\)已经收敛仍然不能断言复数收敛（毕竟啊，那个复平面上的向量如果一直在原地打转，分量就总在以一个有界值变化，宛如论证的丧钟在转动），但是对于这个函数而言根本不会不存在这种情形！
其实很容易，找到这样的向量，利用迭代函数平方相加后保持模不变即可，所幸的是，这样的值非常有限，因为首先一个条件就将范围急剧缩减：
\[
|c|=1
\]
是的，只有\(|c|=1\)的时候，平方计算后才可能保证模不变（依据辐角计算法若\(z=r_z\angle\theta\)，则\(z^2=r_z^2\angle{2\theta}\)），当然我是指仅一次，因为还另外需要一件事保证\(z^2+c=c^2+c\)后的模长也是\(|c|\)或者说是\(1\)：
\[
\cos{<c^2,c>}=-\frac{1}{2}
\]
也就是说\(\arg{z^2}-\arg{c}=\frac{2k\pi}{3}\)才可以（这个式子写的不是很严谨，但你当成是两个夹角为\(120^\circ\)就好），当然你会反驳：
\(c\)是随意取得，也就是说幅角就可以是任意值，当然，\(z^2\)的取值决定于\(c\)，也就是\(z^2\)可以和\(c\)构造连续的函数映射，那么你根本保证不了\(z^2\)一定能够避开这些值啊你个代数白痴！！
啊是的，但是你很快就会意识到一个事实：
这个丧钟，转不久的！！
什么？？
确实，当满足上述两个条件之后，得到的\(z_+\)的结果模仍然是\(1\)，只是转了个角度，但是架不住这个函数是迭代的啊，这次得到的\(z_+\)很明显位于这\(z^2\)和\(c\)的角平分线处……
然后，夹角条件被打破了！！
就像雪崩一样，这个微妙的平衡很快就被打破了，并且马上开始急剧的发散（或收敛）。
如丸走坂
原文：https://www.cnblogs.com/oberon-zjt0806/p/10835741.html