1 记号 (notations)
(1) 广义实数: \overline{\bbR}=\bbR\cup\sed{-\infty}\cup\sed{+\infty} .
(2) 本章主要考虑 \bex f:E\to \overline{\bbR}, \eex
其中 E 是可测集, 而把 \bex f:E\to \bbR \eex
称为有限函数.
注意: 有限函数、有界函数的区别.
(3) \bex E[f>c]=\sed{x\in E;f(x)>a}\quad\sex{x\mbox{ 是哑巴}}. \eex
2 可测函数的定义: \bex f:E\to \overline{\bbR}\mbox{ 可测}\lra \forall\ c\in\bbR, E[f>c]\mbox{ 可测}. \eex
(1) 例 1: \dps{D(x)} 可测: \bex \overline{\bbR}[D>c]=\sedd{\ba{ll} \vno,&c\geq 1,\\ \bbQ,&0\leq c<1,\\ \bbR,&c<0. \ea}. \eex
(2) 例 2: E=(a,b) 上的连续函数、单调函数可测: \bex f\mbox{ 连续}\ra E[f>c] \mbox{ 是开集}; \eex \bex f\mbox{ 单增}\ra E[f>c] \mbox{ 是区间}. \eex
注: 区间 I 的意思是: a,b\in I, a<b\ra [a,b]\in I .
3 可测函数的等价定义: \bex f\mbox{ 可测}\lra \sedd{\ba{ll} (1)&\forall\ c, E[f\geq c]\mbox{ 可测},\\ (2)&\forall\ c, E[f<c] \mbox{ 可测},\\ (3)&\forall\ c, E[f\leq c\mbox{ 可测},\\ (4)&\forall\ -\infty<a<b<+\infty, E[a\leq f<b]\mbox{ 可测},\\ &(\ra\mbox{ 需要 }f \mbox{ 是有限函数}). \ea} \eex
证明: \bex E[f\geq c]=\cap_{i=1}^\infty E\sez{f\geq c-\frac{1}{i}}, \eex \bex E[f>c]=\cup_{i=1}^\infty E\sez{f\geq c+\frac{1}{i}}, \eex \bex E[a\leq f<b]=E[f\geq a]-E[f\geq b], \eex \bex f\mbox{ 有限}\ra E[f\geq a]=\cup_{i=1}^\infty E[a\leq f<a+i]. \eex
(1) 推论: E[f=c] 可测.
证明: \bex c\in\bbR\ra E[f=c]=E[f\geq c]-E[f>c], \eex \bex c=+\infty\ra E[f=c]=\cap_{i=1}^\infty E[f>i], \eex \bex c=-\infty\ra E[f=c]=\cap_{i=1}^\infty E[f<-i]. \eex
4 重要的可测函数类 I---连续函数类
(1) f: E\to \overline{\bbR} 在点 x_0\in E 处连续, 如果 f(x_0)\in\bbR , 且 \bex \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\st x\in E\cap B(x_0,\delta)\ra |f(x)-f(x_0)|<\ve. \eex
注: f 在 E 的孤立点上连续.
(2) 设 f:E\to\overline{\bbR} 连续, 则 f 可测.
证明: 由 \bex x\in E[f>c]&\ra f(x)>c \ra \exists\ \delta_x>0,\st E\cap B(x,\delta_x)\subset E[f>c] \eex
知 \bex E[f>c]=\cup_{x\in E[f>c]}\sez{E\cap B(x,\delta_x)} =\sez{\cup_{x\in E[f>c]}B(x,\delta_x)}\cap E. \eex
5 重要的可测函数类 II---简单函数类
(1) 设 f 在 E 上可测, \tilde E(\subset E) 可测, 则 f 在 \tilde E 上的限制 f:\tilde E\to\overline{\bbR} 也
可测: \bex \tilde E[f>c]=\tilde E\cap E[f>c]. \eex
(2) f 在 \sed{E_i}_{i=1}^j 上可测 \ra f 在 \dps{E=\cup_{i=1}^j} 上可测: \bex E[f>c]=\cup_{i=1}^j E_i[f>c]. \eex
(3) 简单函数: 设 \sed{E_i}_{i=1}^j 两两不交, 可测, \bex f:E=\cup_{i=1}^j E_i\to \overline{\bbR} \eex
使得 f(x)=c_i, x\in E_i , 则称 f 为简单函数, 记作 \bex f(x)=\sum_{i=1}^j c_i\chi_{E_i}(x),\quad x\in E. \eex
(4) 例: D(x) 是 \bbR 上的简单函数.
(5) 简单函数可测.
6 可测函数的四则运算
(1) f,g 可测 \dps{\ra -f,f\pm g, |f|,\frac{1}{f}, f^2,f\cdot g} 可测.
证明: \beex \bea E[-f>c]&=E[f<-c];\\ E[f+g>c]&=E[f>c-g]\\ &=\cup_{r\in\bbQ}\sex{E[f>r]\cap E[r>c-g]}\\ &=\cup_{r\in\bbQ}\sex{E[f>r]\cap E[g>c-r]};\\ f-g&=f+(-g);\\ E\sez{\frac{1}{f}>c} &=\sedd{\ba{ll} E[f>0]\cap E\sez{f<\frac{1}{c}},&c>0\\ E[f>0]\bs E[f=+\infty],&c=0\\ E[f>0]\cup E\sez{f<\frac{1}{c}},&c<0 \ea};\\ E[f^2>c]&=\sedd{\ba{ll} E[f>\sqrt{c}]\cup E[f<-\sqrt{c}],&c\geq 0\\ E,&c<0 \ea};\\ f\cdot g&=\frac{1}{4}[(f+g)^2-(f-g)^2]. \eea \eeex
(2) 推论: \bex f\mbox{ 可测}\lra \mbox{正部 }f^+=\max\sed{f,0},\mbox{ 负部 }f^-=-\min\sed{f,0}, \mbox{ 可测}. \eex
证明: \ra \bex f^+=\frac{|f|+f}{2},\quad f^-=\frac{|f|-f}{2}. \eex
\la f=f^+-f^- .
7 可测函数的极限运算:
(1) \bex f_i\mbox{ 可测}\ra m(x)=\inf_{i\geq 1}f_i(x),\ M(x)=\sup_{i\geq 1}f_i(x)\mbox{ 可测}: \eex \beex \bea E[m\geq c]&=\cap_{i=1}^\infty E[f_i\geq c];\\ E[M\leq c]&=\cap_{i=1}^\infty E[f_i\leq c]. \eea \eeex
(2) \bex f_i\mbox{ 可测}\ra \varliminf_{i\to\infty}f_i,\ \varlimsup_{i\to\infty}f_i\mbox{ 可测}: \eex \bex \varliminf_{i\to\infty}f_i =\sup_{i\geq 1}\inf_{j\geq i}f_j,\quad \varlimsup_{i\to\infty}f_i =\inf_{i\geq 1}\sup_{j\geq i}f_j. \eex
8 可测函数与简单函数的关系:
(1) \bex f\mbox{ 非负可测}\ra \exists\mbox{ 简单函数列 }\sed{\phi_k},\st \phi_k\nearrow f. \eex
证明: 取 \beex \bea E_{k,j}&=E\sez{\frac{j-1}{2^k}\leq f<\frac{j}{2^k}},\quad j=1,2,\cdots,k2^k;\\ E_k&=E[f\geq k],\quad k=1,2,\cdots. \eea \eeex
后, 作 \bex \phi_k(x)=\sedd{\ba{ll} \frac{j-1}{2^k},&x\in E_{k,j},\\ k,&x\in E_k. \ea}. \eex
则 \phi_k 为简单函数, 且 \bex \phi_k\leq \phi_{k+1}\leq f: \eex \beex \bea x\in E_{k,j}&\ra \frac{j-1}{2^k}\leq f(x)<\frac{j}{2^k}\\ &\ra \frac{2j-2}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{2j}{2^{k+1}}\\ &\ra \frac{2j-2}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{2j-1}{2^{k+1}}\mbox{ 或 } \frac{2j-1}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{2j}{2^{k+1}}\\ &\ra \phi_{k+1}(x)=\frac{2j-2}{2^{k+1}}\mbox{ 或 }\frac{2j-1}{2^{k+1}}\geq \frac{j-1}{2^k}=\phi_k(x),\\ x\in E_k&\ra f(x)\geq k\\ &\ra f(x)\geq k+1\mbox{ 或 }\frac{j-1}{2^{k+1}}\leq f(x)<\frac{j}{2^{k+1}}\\ &\quad\sex{j=(k+1)2^{k+1},\cdots,k2^{k+1}+1}\\ &\ra \phi_{k+1}(x)=k+1\mbox{ 或 } \frac{j-1}{2^{k+1}}\geq k=\phi_k(x). \eea \eeex
往证 \phi_k\to f :
若 f(x)=+\infty , 则 \phi_k(x)=k ;
若 f(x)<+\infty , 则当 k>f(x) 时, \bex 0\leq f(x)-\phi_k(x)<\frac{1}{2^k}. \eex
(2) \bex f\mbox{ 可测}\ra \exists\ \mbox{ 简单函数列 }\phi_k,\st \phi_k\to f. \eex
证明: \bex \ba{ccccc} f&=&f^+&-&f^-\\ \uparrow&&\uparrow&&\uparrow\\ \phi_k&=&\phi_{1k}&-&\phi_{2k} \ea. \eex
(3) \bex f\mbox{ 有界可测}\ra \exists\mbox{ 简单函数列 }\sed{\phi_k},\st \phi_k\rightrightarrows f. \eex
证明: 设 |f|\leq M , 则当 k>M 时, \bex |f^+-\phi_{1k}|<\frac{1}{2^k},\quad |f^--\phi_{2k}|<\frac{1}{2^k}, \eex
而 \bex |f-\phi_k|<\frac{1}{2^{k-1}}. \eex
(4) 总结: \bex \mbox{ 非负可测}\ra\mbox{单调逼近};\quad\mbox{可测}\ra \mbox{点点逼近};\quad \mbox{有界可测}\ra \mbox{一致逼近}. \eex
9 一个定义: 设 E 是集合, \pi 是命题, 若 \bex \exists\ Z\subset E,\ mZ=0,\st \pi\mbox{ 在 }E\bs Z\mbox{ 上成立}, \eex
则称 \pi 在 E 上几乎处处成立, 记作 \pi\ \ae 于 E (almost everywhere).
(1) 例 1: |\tan x|<\infty \ae 于 \bbR .
(2) 例 2: D(x)=0 , \ae 于 \bbR .
(3) \bex \left.\ba{ll} \pi_1,\ae\mbox{ 于 }E\\ \pi_2,\ae\mbox{ 于 }E \ea\right\}\ra \pi_1\cap \pi_2,\ae\mbox{ 于 }E. \eex
(4) 例: 若 f=g , \ae 于 E ; g=h , \ae 于 E , 则 f=h , \ae 于 E .
10 作业: Page 94, T 2.
[实变函数]4.1 可测函数 (measurable function) 及其性质
原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3549154.html