【等距螺旋的七个实验】实验七：等距螺旋的别名是等速度比螺旋

【等距螺旋的别名是等速度比螺旋】

等距螺旋的公式中，直线速度w与圆周速度v并不独立出现，而是以速度比的形式出现，如下所示：

• 等距螺旋中存在突变点，突变点对应的角度为-v/(w*CosDA)。

（注：由于v与w均为正值，DA角范围为（-90°，90°）因此，突变点仅出现在负值区间。由于螺旋的对称效应，可使用-α来代表与α方向相反的螺旋，计算时按α>0来分析。）

• 从圆周移动到近地点，共需要经历的旋转角度为v*cosDA/w（弧度单位）。

通过以上的这些计算都可以看到，直线速度与基圆速度的比值可以用来判断螺旋是否是等距离外扩（比值恒定为等距螺旋，不恒定为非等距螺旋），或者螺旋是否相同（不同的速度搭配，若速度比值相同即为同一条螺旋）。

当旋转速度加倍，直线速度同时也加倍的情况下，速度的比值没有发生变化，即螺旋的公式将不会发生变化，也就是说速度同时加倍的情况下，仍属于同一条螺旋。渐开线打开的快慢，并不影响它的螺旋轨迹的大小，就是这一原理的最佳证据。

再回到阿基米德螺旋的一个经典案例，小虫匀速从唱片的中心向外爬去。小虫越向外走，我们观察到的小虫的弧线速度是在增加的，但它所形成的螺旋轨迹却是等距离外扩的。在这里，小虫的直线速度对应的基圆速度（阿基米德螺旋并未提到基圆的概念，但它是真实存在的）之比是固定的，因此，它属于等距离外扩的螺旋。小虫的直线运动穿过圆心，因此，螺旋轨迹属于等距螺旋中的阿基米德螺旋。

在小虫与唱片这样的旋转系统中，小虫与唱片之间存在摩擦力，这种摩擦力使得小虫的弧线速度在不断的增加，当小虫从唱片外沿掉落的时候，它的速度相当于唱片外沿的速度与直线爬行速度的叠加。小虫的直线爬行速度与基圆速度相绑定，与它实际的空间速度无关。唱片每一个旋转周期的时间是固定的，传统的分析中引入了角动量的概念，而角动量可以线性的转化为基圆速度v，从速度比的角度来看，它们的速度比是一个固定值，因此属于等距螺旋。

【非等距螺旋的联想】

（直线运动与圆周运动的）速度比恒定的情况下会产生等距离外扩螺旋，那么速度比均匀增加或均匀减小的情况下，必然出现加速度外扩（或是收缩）的螺旋，它些螺旋可以统称为非等距螺旋。

非等距螺旋是自然界中更为常见的螺旋形式。非等距螺旋中的速度比变化，可以看作是圆周旋转速度的加速，或是直线运动的加速。为了简化分析起见，通常可以认为圆周一直是匀速运动的，而直线运动存在加速和减速两种状态。

如果我们的宇宙处于某个非等距螺旋轨道上，周围的星体也同样位于这样的轨道中。那么，当这个旋转系统的旋转速度在减慢，而直线速度并未变化的情况下，从我们观察的角度来看，会发现世界在加速膨胀。因为，我们进入了螺旋的发散阶段，各个星体轨迹之间的微小差异，都会在不断的放大。从这样的角度来看，宇宙的膨胀并不需要外力来支持，而只是我们所处的世界旋转的更慢了一些而已。

前面两张图形实际上是数学公式出错的产物，非等距螺旋的分析是等距螺旋理论的进一步延伸，我们只是站在它的门口向里面望了一眼而已。古人云“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已”，所以这个方向的讨论留给对数学感兴趣的朋友们继续吧。

【为什么会有突变点】

在等距螺旋的公式里，角度进入到负值区间的某个位置时，会出现突变，螺旋轨迹会进入到它的互补螺旋的轨迹中去。那么，为什么会有突变点呢？

首先，这是数学公式的不完美造成的。当我们试图用单一公式来表达顺时针外扩与逆时针外扩的螺旋时，就会发现在某个位置，公式出现了“错误”。所以对于数学公式应保持警惕的态度，在没有对参数区间进行完整论证之前，不要先入为主的以为数据是平滑安全的。

其次，这是由于螺旋的互补性造成的。在螺旋的世界里顺时针旋转的螺旋与逆时针旋转的螺旋互补，它们在角度关系与表达式上是非常近似的。二者角度之间相差180度，突变点的计算过程也正好符合这样的一种设定。

从科幻的角度来说，电影、小说里对于时空穿越点的描述已经是常态化的标配了，突变点的存在非常默契的配合了这样的题材。尽管我个人对时空穿越持怀疑态度（少部分人的穿越，让全世界来陪同，这个能量消耗不科学啊），但如果这样能帮助我们更好的理解突变点，倒也不妨按这个思路去想象一下。

【等距螺旋的过去、现在和未来】

阿基米德（公元前287年—公元前212年）在距今两千两百多年前将“螺线”定义为一个匀速运动的点沿直线从圆心向外运动，直线同时进行匀速旋转时，动点所形成的螺旋状曲线。由于最初的这种定义，很多人以为只有匀速运动才能得到螺旋，故又将它称为等速螺旋。

网上搜索渐开线起源，几乎全部与齿轮相关，真实的出现年代反而无从考证。齿轮最早在公元前400年至200年出现在中国，1694年法国科学家Philippe首先提出渐开线可作为齿形曲线，此后渐开线在齿轮加工领域里得到了逐步的发展。新中国成立之初，我们几乎没有现化化齿轮的加工能力，经过很多人的努力，最终形成了完整的加工体系。

风螺旋（wind spiral）是随着航空工业的发展而引入的一种螺旋，在上个世纪开始的国际民航组织8168文件中，对风螺旋进行了描述，它假想航空器在转弯过程中，受到累积风的影响而形成的螺旋状的最大外边界。国际民航组织并未对风螺旋给出相应的计算公式，这使得飞行程序保护区在自动化绘制时遇到了非常大的困难。不少人使用阿基米德螺旋来代替风螺旋，除了极易产生范围偏小或者精度不够的情况外，等距外扩、切线与公切线的计算都走入了死胡通。

2014年8月，《风螺旋线的深度分析》一文在《空中交通》杂志正式刊发，文中列出的风螺旋公式就是后来的等距螺旋公式1与公式2。此后，相继完成了传统程序保护区的算法分析，论文选题覆盖了程序转弯（2017年）、基线转弯（2017年）、等待程序（2018年）。算法中解决了切线与公切线的计算，并且非常简单的实现了等距外扩的计算。

在传统程序保护区分析论证的基础之上，通过对风螺旋的算法进行全面的回顾整理，对照其它的典型螺旋进行分析，最终发现风螺旋公式在特定角度条件下，可以成功的转换为阿基米德公式以及渐开线公式，从运动形式到计算方法，实现了螺旋概念的统一。2018年6月《数学的实践与认识》刊发了《等距螺旋的原理与计算》，标志着全新的螺旋概念的形成。文章中对典型螺旋的公式转换方法进行了详细的分析，证明了风螺旋并不是一个孤立的存在，而是等距螺旋的通用公式。

2019年，风螺旋在PBN中的算法应用文章将陆续刊发，实现从传统程序向PBN保护区算法的跨越。未来随着PBN技术的广泛应用，风螺旋算法在飞行程序中必将取得更广阔的发展空间。

【等距螺旋的特性】

当我们观察一条“完整”的等距螺旋时，我们首先会发现它是轴对称图形，也就是说完整的螺旋具备对称性。

其次，正向旋转与反向旋转，会得到两条互补的螺旋，它们会在近地点的位置相切，这是螺旋所体现出的互补性。互补的两条螺旋在公式表达上，也体出了互换的特点，当螺旋经过突变点时，正向螺旋的公式会与反向螺旋的公式互换，并且按照交换后的公式继续发展。

基础参数相同的等距螺旋，无论它们出发时的角度有多么不同，经过多个周期的旋转外扩之后，它们看起来都会非常的相似，这体现了等距螺旋的趋同性。

【等距螺旋的哲学意义】

我们的世界中随处可见螺旋的影子，让人不禁猜想，大的宇宙体系是否也是某种螺旋扩散的结构。