[实变函数]2.5 Cantor 三分集

   1 Cantor 三分集的构造:                 $$\bex P=\cap_{n=1}^\infty F_n. \eex$$    

   2 Cantor 三分集的性质                                

    (1) $P$ 是完备集.                

    (2) $P$ 没有内点:                     $$\bex x\in P\ra \forall\ n, x\in F_n\ra U\sex{x,3^{-n}}\not\subset F. \eex$$                

    (3) $[0,1]\bs P$ 是可数个互不相交的开区间的并, 总长为 $1$ :                     $$\bex \frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2^2}{3^3}+\cdots=1. \eex$$                

    (4) $P$ 的基数为 $c$ :                     $$\bex P\ni 2\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{3^n}\ (a_n=0,1)\mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{2^n}\in [0,1]. \eex$$                

    (5) 总结: Cantor 三分集是一个测度为零且基数为 $c$ 的疏朗完备集. 

        (这里, 一集 $E$ 是疏朗集 $\lra E^{-o}=\vno$ , 有个等价的说法见疏集与稠集).   

    (6) 作业: Page 51 T 10.    

[实变函数]2.5 Cantor 三分集

原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3549133.html