设 E\subset \bbR^n, P_0\in \bbR^n .
1 若 \exists\ U(P_0)\subset E , 则称 P_0 为 E 的内点 (interior point);
E 的全体内点所成集合称为 E 的开核, 记作 E^o .
2 若 \exists\ U(P_0)\subset E^c , 则称 P_0 为 E 的外点 (exterior point).
3 若 \bex\forall\ U(P_0),\ U(P_0)\cap E\neq \vno,\ U(P_0)\cap E^c\neq \vno,\eex
则称 P_0 为 E 的界点 (boundary point);
全体界点所成集合称为 E 的边界, 记作 \p E .
4 总结: P_0 与 E 的关系必有且仅有``内点、外点、界点‘‘ 这三种.
5 我们把 E 的 ``内点和界点‘‘ 全体重做一个分类:
(1) 若 \bex \forall\ U(P_0),\quad U(P_0)\cap (E\bs \sed{P_0})\neq \vno, \eex
则称 P_0 为 E 的聚点 (cluster point);
E 的全体聚点所成集合称为 E 的导集 (derived set), 记作 E‘ ;
E\cup E‘ 称为 E 的闭包 (closure), 记作 \bar E 或 E^-
(2) 若 \bex \exists\ U(P_0),\st U(P_0)\cap E=\sed{P_0}, \eex
则称 P_0 为 E 的孤立点 (isolated point).
(3) 总结: P_0 与 E 的关系必有且仅有``聚点、孤立点、外点‘‘ 这三种.
6 性质:
(1) 聚点的等价定义: \beex \bea P_0\mbox{ 是 }E\mbox{ 的聚点} &\lra \forall\ U(P_0),\ \overline{\overline{U(P_0)\cap E}}\geq a\\ &\lra \exists\ \mbox{ 互异 }P_n\in E,\st P_n\to P_0. \eea \eeex
(2) \p E\subset E‘\cup\sed{\mbox{孤立点}} .
(3) 闭包的刻画: \bex P_0\in \bar E\lra \forall\ U(P_0), \ U(P_0)\cap E\neq \vno. \eex
(4) 闭包、开核的对偶关系: \bex E^{coc}=E^-,\quad E^{c-c}=E^o. \eex
证明: \beex \bea P_0\in E^{coc}&\lra P_0\not\in E^{co}\\ &\lra \forall\ U(P_0),\ U(P_0)\not\subset E^c\\ &\lra \forall\ U(P_0),\ U(P_0)\cap E\neq \vno\\ &\lra P_0\in E^-. \eea \eeex
(5) A\subset B\ra A^o\subset B^o,\ A‘\subset B‘, \ A^-\subset B^- .
(6) (A\cup B)‘=A‘\cup B‘ .
证明: \supset 显然;
\subset 设 P_0\in (A\cup B)‘ 且 P_0\not\in A‘ , 往证: P_0\in B‘ . 由 \bex \forall\ U(P_0),\ U(P_0)\cap [(A\cup B)\bs \sed{P_0}]\neq \vno,\quad U(P_0)\cap (A\bs\sed{P_0})=\vno \eex
知 \dps{U(P_0)\cap (B\bs \sed{P_0})\neq \vno} , 而 P_0\in B‘ .
7 Bolzano-Weierstrass 定理: 设 \vno\neq E 有界, 则 E‘\neq\vno .
8 设 E\neq \vno , E\neq \bbR^n , 则 \p E\neq \vno .
证明: 取 P_0\in E, Q_0\in E^c , 则用反证法易得 \bex R_0=\sup\sed{R=(1-t)P_0+tQ_0;0\leq t\leq 1}\in \p E. \eex
9 作业: Page 51 T 3.
[实变函数]2.2 聚点 (cluster point), 内点 (interior point), 界点 (boundary point)
原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3549115.html