1 一致收敛很重要, 但可惜的是很多时候不一致收敛. 比如 \bex f_n(x)=x^n\to f(x)=\sedd{\ba{ll} 0,&x\in [0,1)\\ 1,&x=1 \ea},\quad x\in [0,1]; \eex 但 f_n 在 [0,1-\delta] 上一致收敛!
本节的内容就是把这种现象普适化.
2 (Egrov 定理) 设
(1) mE<\infty ;
(2) \ae 有限的可测函数列 \sed{f_n} \ae 收敛于 \ae 有限的函数 f . 则 \bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ E_\delta\subset E,\ mE_\delta<\delta,\st f_n\rightrightarrows f\mbox{ 于 }E\bs E_\delta\mbox{ 上}. \eex
证明: 作 \bex E_0=\cup_{n=0}^\infty E[|f_n|=+\infty]\cup E[|f|=+\infty], \eex
则 mE_0=0 . 用 E\bs E_0 替换 E , 不妨设 \bex f_n,f\mbox{ 是有限函数};\quad f_n\to f,\ae \mbox{ 于 }E. \eex
于是 \beex \bea &\quad 0=m\sez{\lim_{n\to\infty}|f_n-f|\neq 0\mbox{ 或极限不存在}}\\ &\quad\ \,=m\sex{\cup_{k=1}^\infty \cap_{N=1}^\infty \cup_{n=N}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq \frac{1}{k}}}\\ &\ra \forall\ k\in\bbZ^+,\ m\sex{\cap_{N=1}^\infty \cup_{n=N}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq \frac{1}{k}}}=0\\ &\ra \forall\ k\in\bbZ^+,\ \lim_{N\to\infty} m\sex{\cup_{n=N}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq\frac{1}{k}}}=0\\ &\ra \forall\ k\in\bbZ^+,\ \forall\ \delta>0,\ \exists\ N_k\in\bbZ^+,\ m\sex{\cup_{n=N_k}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq \frac{1}{k}}}<\frac{\delta}{2^k}\\ &\ra \forall\ \delta>0,\ m\sex{\cup_{k=1}^\infty \cup_{n=N_k}^\infty E\sez{|f_n-f|\geq\frac{1}{k}}}<\sum_{k=1}^\infty \frac{\delta}{2^k}=\delta\\ &\ra E_\delta=\cap_{k=1}^\infty \cap_{n=N_k}^\infty E\sez{|f_n-f|<\frac{1}{k}}\mbox{ 为所求}. \eea \eeex
3 Egrov 定义的意义: \bex \ae\mbox{ 收敛}\ra \mbox{``基本上‘‘ 一致收敛}. \eex
4 注记:
(1) mE=+\infty 时, Egrov 定理不成立. 比如 \bex f_n(x)=\chi_{[n,n+1]}(x),\quad x\in E=\bbR. \eex
(2) Egrov 定理的逆定理在 mE\leq+\infty 时成立. 这是作业.
5 Egrov 定理的推广: 设
(1) mE<+\infty ;
(2) \ae 有限的可测函数列 \sed{f_n} \ae 收敛于 +\infty . 则 \bex \forall\ \delta>0,\ \exists\ E_\delta\subset E,\ mE_\delta<\delta,\st f_n\rightrightarrows +\infty,\mbox{ 于 }E\bs E_\delta\mbox{ 上}. \eex
这是课堂练习.
6 作业: Page 94 T 7.
原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3549157.html