[实变函数]5.3 非负可测函数的 Lebesgue 积分

   本节中, 设 $f,g,f_i$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数, $A,B$ 是 $E$ 的可测子集.    
   
1 定义:                

        (1) $f$ 在 $E$ 上的 Lebesgue 积分       

$$\bex \int_E f(x)\rd x =\sup\sed{\int_E\phi(x)\rd x; 0\leq \phi\leq f}. \eex$$        

        (2) $f$ 在 $E$ 上 Lebesgue 可积 $\dps{\lra \int_Ef(x)\rd x<+\infty}$ .        

        (3) $f$ 在 $A$ 上的 Lebesgue 积分为    

$$\bex \int_A f(x)\rd x =\int_E f(x)\chi_A(x)\rd x. \eex$$               

    

2 性质                
    (1) $\dps{mE=0\ra \int_Ef(x)\rd x=0}$ .    
    (2) $\dps{\int_Ef(x)\rd x=0\ra f(x)=0,\ae}$ 于 $E$ .    
    证明: 由    

$$\bex E[f>0]=\cup_{k=1}^\infty E\sez{f\geq\frac{1}{k}} \eex$$    

    知仅须证明 $\dps{mE\sez{f\geq \frac{1}{k}}=0}$ :    

$$\beex \bea 0&=\int_E f(x)\rd x \geq \int_E \phi_k(x)\rd x\quad\sex{E_k=E\sez{f\geq \frac{1}{k}}, \phi_k(x)=\sedd{\ba{ll} \frac{1}{k},&x\in E_k\\ 0,&x\not\in E_k \ea}}\\ &=\frac{1}{k}\cdot mE_k. \eea \eeex$$        

    (3) $\dps{\int_Ef(x)\rd x<+\infty\ra 0\leq f(x)<+\infty,\ae}$ 于 $E$ .    

    证明: 仅须证明 $E_\infty=E[f=+\infty]$ 为零测度集:    

$$\beex \bea \int_Ef(x)&\geq \int_E \phi_k(x)\rd x \quad\sex{\phi_k(x)=\sedd{\ba{ll} k,&x\in E_\infty\\ 0,&x\not\in E_\infty \ea}}\\ &=k\cdot mE_\infty. \eea \eeex$$        

    (4) $\dps{A\cap B=\vno\ra \int_{A\cup B}f(x)\rd x=\int_A f(x)\rd x+\int_Bf(x)\rd x}$ .    

    证明: 对 $A\cup B$ 上的简单函数 $0\leq \phi\leq f$ , 有    

$$\bex \int_{A\cup B}\phi(x)\rd x =\int_A\phi(x)\rd x +\int_B\phi(x)\rd x \leq \int_Af(x)\rd x +\int_Bf(x)\rd x; \eex$$     $$\bex \int_A\phi(x)\rd x +\int_B\phi(x)\rd x =\int_{A\cup B}\phi(x)\rd x \leq\int_{A\cup B}f(x)\rd x. \eex$$        

    (5) $\dps{f\leq g\ae\ra \int_E f(x)\rd x \leq\int_E g(x)\rd x}$ .    

    证明: 设 $E_1=E[f\leq g], E_2=E[f>g]$ , 则 $mE_2=0$ , 而    

$$\beex \bea \int_Ef(x)\rd x &=\int_{E_1}f(x)\rd x +\int_{E_2}f(x)\rd x\\ &=\int_{E_1}f(x)\rd x\\ &\leq \int_{E_1}g(x)\rd x\quad\sex{0\leq \phi \leq f\ra 0\leq \phi\leq g}\\ &=\int_{E_1}g(x)\rd x +\int_{E_2}g(x)\rd x\\ &=\int_E g(x)\rd x. \eea \eeex$$        

    (6) $\dps{f=g,\ae\ra \int_E f(x)\rd x=\int_E g(x)\rd x}$ .    
    特别地, $\dps{f=0,\ae\ra \int_Ef(x)\rd x=0}$ .    

    (7) (Levi 单增列)    

$$\bex f_i\mbox{ 单增}, \lim_{i\to\infty}f_i=f\ra \lim_{i\to\infty}\int_E f_i(x)\rd x =\int_E f(x)\rd x. \eex$$    

    证明: 由 $f_i\leq f$ 知 $\leq$ . 往证 $\geq$ . 对 $\forall\ 0\leq \phi\leq f$ , $\forall\ 0<c<1$ ,    

$$\beex \bea &\quad \int_Ef_i(x)\rd x \geq \int_{E_i}f_i(x)\rd x \geq c\int_{E_i}\phi(x)\rd x \quad\sex{E_i=E[f_i\geq c\phi]}\\ &\ra \int_E f_i(x)\rd x\geq c\int_E \phi(x)\rd x\quad\sex{E_i\mbox{ 单增}, \cup_{i=1}^\infty E_i=E:\mbox{ 这里需要 }0<c<1!}. \eea \eeex$$        

    (8) (正线性性)     $\dps{\int_E[\alpha f(x)+\beta g(x)]\rd x =\alpha \int_E f(x)\rd x +\beta \int_E g(x)\rd x}$ .     

    证明:    

$$\beex \bea &\quad 0\leq \phi_i\nearrow f,\quad 0\leq \psi_i\nearrow g\\ &\ra 0\leq \alpha \phi_i+\beta \psi_i\nearrow \alpha f+\beta g\\ &\ra \int_E [\alpha f(x)+\beta g(x)] \rd x =\lim_{i\to\infty}\int_E[\alpha \phi_i(x)+\beta \psi(x)]\rd x\\ &\qquad\qquad =\alpha \lim_{i\to\infty} \int_E\phi_i(x)\rd x +\beta \lim_{i\to\infty} \int_E \psi_i(x)\rd x\\ &\qquad\qquad =\alpha \int_E f(x)\rd x +\beta \int_E g(x)\rd x\quad\sex{\mbox{Levi 单增列}}. \eea \eeex$$       (9) (逐项积分) $\dps{\int_E \sum_{i=1}^\infty f_i(x)\rd x =\sum_{i=1}^\infty \int_Ef_i(x)\rd x}$ .    

    证明:    

$$\beex \bea \int_E \sum_{i=1}^\infty f_i(x)\rd x &=\int_E \lim_{j\to\infty}\sum_{i=1}^j f_i(x)\rd x\\ &=\lim_{j\to\infty}\int_E\sum_{i=1}^j f_i(x)\rd x\quad\sex{\mbox{Levi 单增列}}\\ &=\lim_{j\to\infty}\sum_{i=1}^j \int_Ef_i(x)\rd x\\ &=\sum_{i=1}^\infty \int_E f_i(x)\rd x. \eea \eeex$$    
    (10) Fatou 引理 $\dps{\int_E \varliminf_{i\to\infty}f_i(x)\rd x\leq \varliminf_{i\to\infty}\int_Ef_i(x)\rd x}$ .    
   证明:     $$\beex \bea \int_E\varliminf_{i\to\infty}f_i(x)\rd x &=\int_E \lim_{j\to\infty}\inf_{i\geq j}f_i(x)\rd x\\ &=\lim_{j\to\infty}\int_E\inf_{i\geq j}f_i(x)\rd x\quad\sex{\mbox{Levi 单增列}}\\ &\leq \varliminf_{j\to\infty} \int_Ef_j(x)\rd x \quad\sex{\inf_{i\geq j}f_i\leq f_j\mbox{ 两边积分后取下极限}}. \eea \eeex$$            

 

3 例                

    (1) 设 $\sed{r_k}$ 是 $[0,1]$ 中的全体有理数, 则    

$$\bex \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2\sqrt{|x-r_k|}}\ae\mbox{ 收敛}. \eex$$    证明:     $$\bex \int_{[0,1]}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2\sqrt{|x-r_k|}}\rd x =\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2} \int_{[0,1]}\frac{1}{\sqrt{|x-r_k|}}\rd x<\infty. \eex$$      

    (2) 设 $\sed{E_i}_{i=1}^j\ (\subset [0,1])$ 可测, $[0,1]$ 中任一点均属于 $\sed{E_i}_{i=1}^j$ 中的 $q$ 个, 则 $\exists\ i_0,\st mE_{i_0}\geq q/j$ .    

    证明:    

$$\bex \sum_{i=1}^j \chi_{E_i}(x)\geq q \ra \sum_{i=1}^j mE_i=\sum_{i=1}^j \int_{[0,1]}\chi_{E_i}(x)\rd x =\int_{[0,1]}\sum_{i=1}^j \chi_{E_i}(x)\rd x \geq q. \eex$$      

4 作业: Page 132 T 6, Page 133 T 7.    

[实变函数]5.3 非负可测函数的 Lebesgue 积分

原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3549205.html