1 记号: 一元函数 f
(1)Riemann 积分: \dps{(R)\int_a^b f(x)\rd x}b
a
f(x)dx
(2)Lebesgue 积分: \dps{(L)\int_{[a,b]}f(x)\rd x}[a,b]
f(x)dx
2回忆
(1)Riemann 积分: 对函数 f:[a,b]\to
\bbR
定义 Darboux 上、下和: \beex \bea U_{f,T}=\sum_{i=1}^n
M_i\lap x_i,& M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f,\\ L_{f,T}=\sum_{i=1}^n m_i\lap
x_i,& m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f, \eea \eeex
0
<x
1
<?<x
n
=b,(细度 ∥T∥=max
i
△x
i
),
而显然有 \beex \bea T\subset T‘&\ra U_{f,T}\geq
U_{f,T‘},\quad L_{f,T}\leq L_{f,T‘};\\ T,T‘\ra L_{f,T}\leq U_{f,T‘}. \eea
\eeex
f,T
=∑
i=1
n
M
i
△x
i
,
L
f,T
=∑
i=1
n
m
i
△x
i
,
M
i
=sup
[x
i?1
,x
i
]
f,
m
i
=inf
[x
i?1
,x
i
]
f,
再定义 Darboux 上、下积分: \bex \overset{-}{\int_a^b}
f(x)\rd x=\inf_T U_{f,T},\quad \underset{-}{\int_a^b}f(x)\rd x=\sup_T L_{f,T}.
\eex
′
T,T
′
?L
f,T
≤U
f,T
′
.
?U
f,T
≥U
f,T
′
,L
f,T
≤L
f,T
′
;
而显然有 \bex \overset{-}{\int_a^b} f(x)\rd x\geq
\underset{-}{\int_a^b}f(x)\rd x. \eex
b
a
?
f(x)dx=inf
T
U
f,T
,∫
b
a
?
f(x)dx=sup
T
L
f,T
.
最后定义 \beex \bea f\in R[a,b]&\lra
\overset{-}{\int_a^b} f(x)\rd x\geq \underset{-}{\int_a^b}f(x)\rd x\\ &\lra
\exists\ T^{(n)}_1,T^{(n)}_2: \sen{T^{(n)}_1},\sen{T^{(n)}_2}\to 0,\st\\
&\quad \quad U_{f,T^{(n)}_1}\searrow I,\ L_{f,T^{(n)}_2}\nearrow
I\quad\sex{I=\int_a^b f(x)\rd x}\\ &\lra \exists\ T^{(n)}=T^{(n)}_1\cup
T^{(n)}_2:\ \sen{T^{(n)}}\to 0,\st\\ &\quad\quad
\lim_{n\to\infty}\sez{U_{f,T^{(n)}}-L_{f,T^{(n)}}}=0\\ &\lra \exists\
T^{(n)}:\ 0=x^{(n)}_0<x^{(n)}_1<\cdots<x^{(n)}_{P_n}: \sen{T^{(n)}}\to
0,\st\\ &\quad\quad
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{P_n}\sez{M^{(n)}_i-m^{(n)}_i}\lap x_i=0. \eea
\eeex
b
a
?
f(x)dx≥∫
b
a
?
f(x)dx.
注意: \bex E=\cup_{n=1}^\infty
T^{(n)}=\cup_{n=1}^\infty \sed{x^{(n)}_0,x^{(n)}_1,\cdots,x^{(n)}_{P_n}}
\eex
?∫
b
a
?
f(x)dx≥∫
b
a
?
f(x)dx
?? T
(n)
1
,T
(n)
2
:∥
∥
T
(n)
1
∥
∥
,∥
∥
T
(n)
2
∥
∥
→0,s.t.
U
f,T
(n)
1
↘I, L
f,T
(n)
2
↗I(I=∫
b
a
f(x)dx)
?? T
(n)
=T
(n)
1
∪T
(n)
2
: ∥
∥
T
(n)
∥
∥
→0,s.t.
lim
n→∞
[U
f,T
(n)
?L
f,T
(n)
]=0
?? T
(n)
: 0=x
(n)
0
<x
(n)
1
<?<x
(n)
P
n
:∥
∥
T
(n)
∥
∥
→0,s.t.
lim
n→∞
∑
i=1
P
n
[M
(n)
i
?m
(n)
i
]△x
i
=0.
可数, 而是零测度集. 连续函数的刻画: \bex f\mbox{ 在 }x\mbox{
处连续}\lra \omega(x)=\lim_{\delta\to }\sup_{x‘,x‘‘\in U(x,\delta)\cap
[a,b]}|f(x‘)-f(x‘‘)|=0. \eex
∞
n=1
T
(n)
=∪
∞
n=1
{x
(n)
0
,x
(n)
1
,?,x
(n)
P
n
}
证明: \beex \bea f\mbox{ 在 }x\mbox{ 处连续}
&\ra\forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ x‘\in
U(x,\delta)\cap [a,b],\\ &\quad\mbox{ 有 }|f(x‘)-f(x)|<\ve/2\\ &\ra
\forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ x‘,x‘‘\in U(x,\delta)\cap
[a,b],\\ &\quad\mbox{ 有 }|f(x‘)-f(x‘‘)|<\ve. \eea \eeex
δ→
sup
x
′
,x
′′
∈U(x,δ)∩[a,b]
|f(x
′
)?f(x
′′
)|=0.
\beex \bea \omega(x)=0&\ra \forall\
\ve>0,\exists\ \delta>0,\ \sup_{x‘,x‘‘\in U(x,\delta)\cap
[a,b]}|f(x‘)-f(x‘‘)|<\ve\\ &\ra \forall\ \ve>0,\exists\ \delta>0,\
\sup_{x‘\in U(x,\delta)\cap [a,b]}|f(x‘)-f(x)|<\ve\quad\sex{x‘‘=x}. \eea
\eeex
?? ε>0, ? δ>0, ? x
′
∈U(x,δ)∩[a,b],
有 |f(x
′
)?f(x)|<ε/2
?? ε>0, ? δ>0, ? x
′
,x
′′
∈U(x,δ)∩[a,b],
有 |f(x
′
)?f(x
′′
)|<ε.
(2) Riemann 可积函数的刻画: 设 f:[a,b]\to
\bbR?? ε>0,? δ>0, sup
x
′
,x
′′
∈U(x,δ)∩[a,b]
|f(x
′
)?f(x
′′
)|<ε
?? ε>0,? δ>0, sup
x
′
∈U(x,δ)∩[a,b]
|f(x
′
)?f(x)|<ε(x
′′
=x).
证明: 注意到 \bex f\in R[a,b]\lra \exists\
T^{(n)}:\sen{T^{(n)}}\to 0,\st \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{P_n}
[M^{(n)}_i-m^{(n)}_i]\lap x_i=0 \eex
及\footnote{为证 h_n(x)\to \omega(x),x\in [a,b]\bs
E(n)
:∥
∥
T
(n)
∥
∥
→0,s.t. lim
n→∞
∑
i=1
P
n
[M
(n)
i
?m
(n)
i
]△x
i
=0
n
(x)→ω(x),x∈[a,b]?E
∥
T
(n)
∥
∥
→0
} \beex \bea \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{P_n}
[M^{(n)}_i-m^{(n)}_i]\lap x_i &=\lim_{n\to\infty} (L)\int_{[a,b]}h_n(x)\rd
x\\ &\quad\sex{h_n(x)=\sedd{\ba{ll}
M^{(n)}_i-m^{(n)}_i,&x^{(n)}_{i-1}<x<x^{(n)}_i\\ 0,x\not\in T^{(n)}
\ea}}\\ &=\int_{[a,b]}\lim_{n\to\infty}h_n(x)\rd x\quad\sex{\mbox{Lebesgue
控制收敛}}\\ &=\int_{[a,b]}\omega(x)\rd x\quad\sex{h_n(x)\to \omega(x),x\in
[a,b]\bs E}. \eea \eeex
=lim
n→∞
sup
x
(n)
i
n
?1
<x
′
,x
′′
<x
(n)
i
n
|f(x
′
)?f(x
′′
)|(不在乎是否为中央开区间)
=lim
n→∞
[M
(n)
i
n
?m
(n)
i
n
].
我们有 \beex \bea f\in R[a,b]&\ra
\int_{[a,b]}\omega(x)\rd x=0\\ &\lra \omega=0,\ae\\ &\lra f\ae\mbox{
连续}. \eea \eeex
n→∞
∑
i=1
P
n
[M
(n)
i
?m
(n)
i
]△x
i
=lim
n→∞
(L)∫
[a,b]
h
n
(x)dx
(h
n
(x)={M
(n)
i
?m
(n)
i
,
0,x?T
(n)
x
(n)
i?1
<x<x
(n)
i
)
=∫
[a,b]
lim
n→∞
h
n
(x)dx(Lebesgue 控制收敛)
=∫
[a,b]
ω(x)dx(h
n
(x)→ω(x),x∈[a,b]?E).
3 Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广: 设 f:[a,b]\to
\bbR
\footnote{f\in R[a,b]\ra f
有界.}, 则 \bex f\in R[a,b]\ra f\in L[a,b],\mbox{ 且
} (L)\int_{[a,b]}f(x)\rd x =(R)\int_a^b f(x)\rd x. \eex
证明: \beex \bea f\in R[a,b]&\ra f\ae\mbox{
连续}\\ &\ra f\in L[a,b];\\ f\in R[a,b]&\ra \exists\
T^{(n)}:\sen{T^{(n)}}\to 0,\st \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{P_n}
[M^{(n)}_i-m^{(n)}_i]\lap x_i=0\\ &\ra (R)\int_a^b f(x)\rd x
=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{P_n} M^{(n)}_i\lap x_i\\ &\qquad\qquad \qquad
\qquad =\lim_{n\to\infty}(L) \int_{[a,b]}g_n(x)\rd x\\ &\qquad\qquad \qquad
\qquad \quad\sex{g_n(x)=\sedd{\ba{ll}
M^{(n)}_i,&x^{(n)}_{i-1}<x<x^{(n)}_i\\ 0,&x\not\in T^{(n)} \ea}}\\
&\qquad\qquad \qquad \qquad =(L) \int_a^b \lim_{n\to\infty}g_n(x)\rd x\\
&\qquad\qquad \qquad \qquad =(L)\int_a^b f(x)\rd x. \eea \eeex
4 Lebesgue 积分是非负 Riemann 反常积分的推广: \bex
\serd{\ba{ll} f:[a,+\infty)\to [0,+\infty)\\ f\in R[a,A],\quad \forall\ A>a\\
(R)\int_a^{+\infty}f(x)\rd x\mbox{ 收敛} \ea}\ra\sedd{\ba{ll} f\in L[a,b]\\
(L)\int_{[a,+\infty)}f(x)\rd x =(R)\int_a^{+\infty}f(x)\rd x. \ea} \eex
证明: \beex \bea (L)\int_{[a,+\infty)}f(x)\rd x
&=(L)\int_{[a,+\infty)} \lim_{i\to\infty}f_i(x)\rd
x\quad\sex{f_i(x)=\sedd{\ba{ll} f(x),&0\leq x\leq i\\ 0,&x>i \ea}}\\
&=(L)\lim_{i\to\infty}\int_{[a,+\infty)}f_i(x)\rd x\\
&=(L)\lim_{i\to\infty}\int_{[a,i]}f(x)\rd x\\
&=(R)\lim_{i\to\infty}\int_a^if(x)\rd x\\ &=(R)\int_a^{+\infty}f(x)\rd
x. \eea \eeex
5 Lebesgue 积分不是 Riemann 反常积分的推广: \bex
f(x)=\sedd{\ba{ll} \frac{\sin x}{x},&x\in (0,+\infty)\\ 1,x=0 \ea}\ra f\in
R[0,+\infty),\ f\not\in L[0,+\infty). \eex
证明: 由 Dirichlet 判别法即知 f\in
R[0,+\infty)
. 往证 \bex \int_0^\infty f^\pm(x)\rd x=+\infty\ra
f\mbox{ 积分不确定}\ra f\not\in L[0,+\infty): \eex
\beex \bea (L)\int_{[0,+\infty)}f^+(x)\rd x
&=(L)\int_{[0,+\infty)} f(x)\sum_{k=0}^\infty f(x)\sum_{k=0}^\infty
\chi_{[2k\pi,(2k+1)\pi]}(x)\rd x\\ &=\sum_{k=0}^\infty
(L)\int_{[2k\pi,(2k+1)\pi]}\frac{\sin x}{x}\rd x\\ &=\sum_{k=0}^\infty
(R)\int_{2k\pi}^{(2k+1)\pi}\frac{\sin x}{x}\rd x\\ &\geq \sum_{k=0}^\infty
\frac{2}{(2k+1)\pi}\quad\sex{\mbox{把 }x\mbox{ 提出来}}\\ &=+\infty;\\
(L)\int_{[0,+\infty)}f^-(x)\rd x&=+\infty. \eea \eeex
6作业: Page 132, T 5.
[实变函数]5.5 Riemann 积分和 Lebesgue 积分
原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3549223.html