题：设\(A, B\)是空间\(X\)的子集，证明：\(\overline{A \bigcup B} = \overline A \bigcup \overline B\)
证法1：
先证\(\overline{A \bigcup B} \subseteq \overline A \bigcup \overline B\)
\(\because A \subseteq \overline A \bigwedge B \subseteq \overline B\)
\(\therefore A \bigcup B \subseteq \overline A \bigcup \overline B\)
\(\therefore \overline{A \bigcup B} \subseteq \overline{\overline A \bigcup \overline B} = \overline A \bigcup \overline B\)
接着证明\(\overline A \bigcup \overline B \subseteq \overline{A \bigcup B}\)
\(\because A \subseteq A \bigcup B \bigwedge B \subseteq A \bigcup B\)
\(\therefore \overline A \subseteq \overline{A \bigcup B} \bigwedge \overline B \subseteq \overline{A \bigcup B}\)
\(\therefore \overline A \bigcup \overline B \subseteq \overline{A \bigcup B}\)
综上，\(\overline{A \bigcup B} = \overline A \bigcup \overline B\)
证法2:
对\(X\)中的元素进行划分处理
如果\(x \in A \bigvee x \in B \Rightarrow x \in \overline A \bigvee x \in \overline B\)
那么\(x \in \overline{A \bigcup B}\)
设\(x \in X\), \(U\)为其任一邻域
\(1.U\)只与\(A\)或\(B\)有交
易得\(x \in \overline A \bigvee x \in \overline B \Rightarrow x \in \overline{A \bigcup B}\)
从而\(x \in \overline A \bigcup \overline B \bigwedge x \in \overline{A \bigcup B}\)
\(2.U \bigcap A = \varnothing \bigwedge U \bigcap B = \varnothing\)
可知\(x \notin \overline A \bigcup \overline B \bigwedge x \notin \overline{A \bigcup B}\)
\(3.U \bigcap A \neq \varnothing \bigvee U \bigcap B \neq \varnothing\)，即部分邻域只与\(A\)或\(B\)有交
由题可设邻域\(U\)只与\(A\)有交, 另一邻域\(V\)只与\(B\)有交，那么\(T = U \bigcap V\)也是\(x\)的一个非空邻域
可知\(Z \bigcap A = \varnothing \bigwedge Z \bigcap B = \varnothing\)，从而与题设矛盾，因此这类分组为空，即\(\varnothing\)
4.对于其他的\(x\)，存在邻域不与\(A \bigcup B\)有交
可知\(x \notin \overline A \bigcup \overline B \bigwedge x \notin \overline{A \bigcup B}\)
综上，只有第一种划分都在等式两边，其他划分都不在其中之一里，因此\(\overline{A \bigcup B} = \overline A \bigcup \overline B\)
小结：
第一种证明是从宏观的角度出发，证明起来需要用到已证的定理(如\(A \subseteq B \Rightarrow \overline A \subseteq \overline B\))，但这证明也是很容易，逻辑清楚，干净利落，但是需要证明互相包含(二次包含证明);
第二种证明是从微观的视角出发，对\(X\)的元素进行划分，其实也是非常的简单，只需要考虑第三种的划分情况，利用交集可证这类划分为\(\varnothing\)，证明起来只需要考虑特殊情况(第三种)，条理清晰，快捷，但是需要一定的洞察力，这也是我个人的证明方法
后话：不得不说博客园的Markdown的Latex实时查看和错误显示实在是不友好
原文：https://www.cnblogs.com/sangdesu/p/11038772.html