【JZOJ6223】【20190617】互膜

题目

小\(A\)和小\(B\)在一个长度为\(2n\)的数组上面博弈，初始时奇数位置为A，偶数位置为B

小\(A\)先手，第\(i\)次操作的人可以将\(i\)或者\(i+1\)位置的值反转(也可以不做任何操作)

\(n-1\)次操作结束后，小\(A\)得分为所有\(A\)位置的权值和，小\(B\)同理

每次会把一个权值改小，询问每次小A得到的和

$n \le 200000 $，权值为非负数

题解

• 设\(f_{i,0/1}\)表示从\(i\)位置向后考虑，\(i\)位置有没有反转，当前操作的人和另一个人得分差值的最大值
  \[ \begin{align} &\begin{cases} f_{i,0} \ &= \ max \{ s_i - f_{i+1,0} , s_i - f_{i+1,1} \} \f_{i,1} \ &= \ max \{ s_i - f_{i+1,0} ,-s_i - f_{i+1,1} \} \\end{cases}\&设\Delta _i = f_{i,0} - f_{i,1} \&由于s_i\ge 0 显然\Delta_i \ge 0\&\begin{cases} f_{i,0} \ &= s_i - f_{i+1,1} \f_{i,1} \ &= max \{ 2s_i - \Delta_{i+1} , 0 \} - s_i - f_{i+1,1} \\ \Delta_i\ &= min \{ 2s_i , \Delta_{i+1} \} \end{cases}\&\Delta_n=2s_n 维护 \Delta_i 也就是对2s_i 取后缀min \&f_{1,0} = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}s_i + \sum_{i=2}^{n} (-1)^i \Delta_{i} \\end{align} \]

• 维护后缀\(min\)值只有改小的话可以在线段树上先二分再修改，时间复杂度\(O(n \ log \ n)\)

• 没有这个条件可以用线段树维护从前往后递增的单调栈

• 具体来说每段区间维护最小值\(mn\)和区间答案\(sum\)

• 考虑当前区间\(K\)的左右儿子为\(L,R\)，左儿子\(L\)的左右儿子为\(l,r\)

  如果 $mn_{R} \lt mn_{r} $ ，右区间的贡献都为\(mn_R\)，直接统计，并递归\(l\)

  如果 $ mn_R \ge mn_r $ ，记录$ add_K \(表示用\)K\(的左儿子的mn走右儿子的答案，直接统计\)add_K \(并递归\)r$

  时间复杂度：$O(n \log ^2n ) $

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  #define ls (k<<1)
  #define rs (k<<1|1)
  
  using namespace std;
  
  char gc(){
    static char*p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
    int x=0;char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9')c=gc();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
    return x;
  }
  
  const int N=200010;
  int n,m,s[N];
  ll tmp,Mn,mn[N<<2],sum[N<<2],add[N<<2],ans;
  
  ll sg(int l,int r,int x){return ((r-l)&1)?0:l&1?-x:x;}
  void mfy(int k,int l){mn[k]=s[l];sum[k]=l&1?-s[l]:s[l];}
  void cal(int k,int l,int r){
    if(l==r){tmp+=sg(l,r,min(Mn,mn[k]));return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(Mn<mn[rs])tmp+=sg(mid+1,r,Mn),cal(ls,l,mid);
    else tmp+=add[k],cal(rs,mid+1,r);
  }
  void pushup(int k,int l,int r){
    mn[k]=min(mn[ls],mn[rs]);
    int mid=(l+r)>>1; 
    tmp=0;Mn=mn[rs];
    cal(ls,l,mid);
    sum[k]=sum[rs]+(add[k]=tmp);
  }
  void build(int k,int l,int r){
    if(l==r){mfy(k,l);return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    build(ls,l,mid);
    build(rs,mid+1,r);
    pushup(k,l,r);
  }
  void update(int k,int l,int r,int x){
    if(l==r){mfy(k,l);return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(x<=mid)update(ls,l,mid,x);
    else update(rs,mid+1,r,x);
    pushup(k,l,r);
  }
  int main(){
    freopen("flip.in","r",stdin);
    freopen("flip.out","w",stdout);
    n=rd();
    for(int i=1;i<=n;++i){s[i]=rd();if(i&1)ans+=s[i];}
    build(1,2,n);
    printf("%lld\n",ans+sum[1]);
    m=rd();
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x=rd(),y=rd();
        if(x&1)ans-=s[x];
        s[x]-=y;if(x&1)ans+=s[x];
        if(x>1)update(1,2,n,x);
        printf("%lld\n",ans+sum[1]);
    }
    return 0;
  }

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原文：https://www.cnblogs.com/Paul-Guderian/p/11051706.html