在概率论中，切比雪夫不等式（英语：Chebyshev‘s Inequality）显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（英语：Bienaymé Inequality）或比奈梅-切比雪夫不等式（英语：Bienaymé-Chebyshev Inequality）。切比雪夫不等式，对任何分布形状的数据都适用。可表示为：对于任意{\displaystyle b>0}
，有：
- {\displaystyle P(|X-E(X)|\geqslant b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}}
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟“几乎所有”是多少，“接近”又有多接近：
- 与平均相差2个标准差以上的值，数目不多于1/4
- 与平均相差3个标准差以上的值，数目不多于1/9
- 与平均相差4个标准差以上的值，数目不多于1/16
……
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多于4个（=36*1/9）。
公式：{\displaystyle P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}
测度论说法[编辑]
设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对于任意实数t > 0，
- {\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .}
一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有
- {\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}
上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：
- {\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if }}t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}}
概率论说法[编辑]
设{\displaystyle X}
为随机变量，期望值为{\displaystyle \mu }
，标准差为{\displaystyle \sigma }
。对于任何实数k>0，
- {\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}
一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：
- {\displaystyle \Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})}
- {\displaystyle \Pr(X=0)=1-1/k^{2}}
这个分布的标准差{\displaystyle \sigma =1/k}
，{\displaystyle \mu =0}
。
对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 {\displaystyle 1-1/k^{2}}
的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。
当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：
- {\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.}
[1]
定义{\displaystyle ~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}}
，设{\displaystyle 1_{A_{t}}}
为集{\displaystyle ~A_{t}}
的指标函数，有
- {\displaystyle 0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f,}
- {\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .}
又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变量Y和正数a有{\displaystyle \Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E} (|Y|)/a}
。取{\displaystyle Y=(X-\mu )^{2}}
及{\displaystyle a=(k\sigma )^{2}}
。
亦可从概率论的原理和定义开始证明：
- {\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})}
- {\displaystyle \leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.}
参考来源[编辑]
- 《基本统计学 观念与应用二版》，林惠玲 陈正仓 著
- 《应用统计学 第四版》 修订版，林惠玲 陈正仓 著
