统计学习方法10—隐马尔可夫模型推导

??隐马尔可夫模型（HMM）是一种标注模型，描述由隐藏的马尔可夫链随机生成观测序列的过程，属于生成模型。其在语音识别，自然语言处理，模式识别等领域有着广泛的应用。
#### 1.基本概念
??友好起见，我们以例子来导出马尔可夫的定义

• 盒子与球模型
  ??设有4个盒子，每个盒子里装有红白两种颜色的球。该模型抽取过程定义如下：先等概率选择一个盒子，从中抽取一次得到一个观测结果，然后换盒子，并且换盒子的过程中服从一些概率，比如1号盒子到2、3、4号的概率分别为0.1、0.4、0.5。2号盒子到1、2、3、4号的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。假设抽取了5次，结果为“红，白，白，红，红”。
  ??总共抽取了5次，那么得到一个时间长度为5的观测序列，这里”红，白，白，红，红“便是最终的观测序列，其中每次抽取是在不同的盒子中进行的，这5次选择的盒子构成了一个状态随机序列，表示是在什么状态下抽取的。注意模型开始假设是等概率选择一个盒子，这个概率叫初始状态概率\(\pi\)。
  ??设所有可能的状态Q有N种，可能的V观测有M种，为了公式表达方便， 用 \(q=i\) 表示状态为第\(i\) 个状态， \(q_t=i\)表示在 \(t\) 时刻的状态是第 \(i\) 个状态，\(y_t\) 表示第 \(t\)个时刻的观测。
  ??其中每个状态（当前盒子）都有转移到另一个状态的概率，这些概率可以方便的用矩阵表示，并且这个矩阵一定是方阵，
  \[ A=[a_{ij} ] _ {N*N} \]其中，\[a_{ij} = P(q_{(t+1)} =j|q_t = i), i=1,2,...,N;j=1,2,...,N\]表示在时刻 t 处于状态 i 的条件下在下一时刻 t+1 转移到状态 j 的概率。
  ??除了状态转移矩阵，要知道还有每个状态下各个观测事件发生的概率，因此也用矩阵B将其表示
  \[B = [b_j(k)]_{N*M}\]其中，\[ b_j(k) = P(y_t = v_k|q_t = j) \]表示在状态 \(j\) 下生成观测\(v_k\)的概率。
  ??\(\pi\)表示初始状态概率向量
  \[\pi = (\pi_i) , \]其中,\(\pi = P(q_1 =i)\)，表示\(t = 1\)时刻处于状态 \(i\) 的概率。
  ??状态转移概率矩阵A，观测概率矩阵B和初始状态概率\(\pi\)构成了隐马尔可夫模型的三要素，常用三元符表示隐马尔可夫模型的参数
  \[\lambda = (A,B,\pi)\]??隐马尔可夫模型有两个非常重要的假设，后面简化算法的推导都是基于这两个假设
• 齐次马尔可夫性假设
  ??即假设隐马尔可夫链在任意时刻\(t\)的状态只依赖与前一时刻的状态，与其他时刻的装态和观测值无关，也与\(t\)时刻无关，即得概率简化公式如下
  \[P(q_t|y_1,y_2,...,y_{t-1},q_1,q_2,...,q_{t-1})= P(q_t|q_{t-1})\]
• 观测独立性假设
  ??即假设任意时刻的观测只依赖于当前时刻马尔可夫链的状态，而与其他观测和状态无关
  \[P(y_t|y_1,y_2,...,y_{t-1},q_1,q_2,...,q_t) = P(y_t|q_t)\]??总结一下隐马尔可夫的过程，那么假设\(\lambda\)的参数已知，生成一个长度为T的时间序列的过程如下：
  ??（1） 按照初始状态概率\(\pi\)产生一个状态\(q_1\)。
  ??（2）令 t = 1
  ??（3）按照状态\(q_t\)的观测概率矩阵B生成\(y_t\)。
  ??（4）安装状态\(q_t\)的状态转移矩阵A产生下一个时刻的状态。
  ??（5）\(t= t +1\), 如果\(t < T\)，转至（3），否则结束。

??大致明白隐马尔可夫模型是什么之后我们需要考虑它是干嘛的，能做什么。事实上隐马尔可夫模型有三个基本问题，解决这三个基本问题的过程也就是解决不同问题的过程，同时其问题描述也很明确，相信看完问题描述之后便对它能做什么有大致的了解。

• 隐马尔可夫的三个基本问题

(1) 概率计算问题。给定隐马尔可夫模型的参数\(\lambda=(A,B,\pi)\)和观测序列\(Y=(y_1,y_2,...,y_t)\)，计算在该模型下观测 序列\(Y\)出现的概率\(P(Y|\lambda)\)。

(2) 学习问题。已知观测序列\(Y= (y_1,y_2,...,y_t)\)，估计模型的参数\(\lambda=（A,B,\pi）\),使得该模型下的该观测序列发生的概率\(P(Y|\lambda)\)最大，即极大似然估计该模型参数。

(3) 预测问题，也称为解码(decoding)问题。已知模型\(\lambda=(A,B,\pi)\)和观测序列\(Y=(y_1,y_2,...,y_t)\)，求使给定序列条件下状态序列的概率\(P(Q|Y)\)最大的状态序列，即给定观测序列，求最有可能生成该观测序列的状态序列。

??后面继续讨论如何计算这些问题以及如何简化这些问题。

2.\(P(Y|\lambda)\)概率计算问题

??本问题可以通过前向和后向算法进行计算，不过先来看看该问题的直接解法，以及该方法为什么不可行。前面已经说过隐马尔可夫有两个基本假设，其计算基本都是基于它们来化简的，先考虑其基本用法，即一个观测序列可以如何简化表达，以三个观测序列为例\(P(y_1,y_2,y_3)\)，其中共有K个状态
\[ \begin{aligned} P(y_1,y_2,y_3) = & \sum_{q_3}^K\sum_{q_2}^K\sum_{q_1}^KP(y_1,y_2,y_3,q_1,q_2,q_3)\ = &\sum_{q_3}^K\sum_{q_2}^K\sum_{q_1}^KP(y_3|y_1,y_2,q_1,q_2,q_3)\cdot P(y_1,y_2,q_1,q_2,q_3)\ = &\sum_{q_3}^K\sum_{q_2}^K\sum_{q_1}^KP(y_3|q_3)\cdot P(q_3|y_1,y_2,q_1,q_2)\cdot P(y_1,y_2,q_1,q_2)\=& \sum_{q_3}^K\sum_{q_2}^K\sum_{q_1}^KP(y_3|q_3) \cdot P(q_3|q_2) \cdot P(y_1,y_2,q_1,q_2)\& \cdots \cdots\=& \sum_{q_3}^K\sum_{q_2}^K\sum_{q_1}^KP(y_3|q_3) \cdot P(q_3|q_2) \cdot P(y_2|q_2)\cdot P(q_2|q_1) \cdot P(y_1|q_1) \cdot P(q_1)\=& \sum_{q_3}^K\sum_{q_2}^K\sum_{q_1}^KP(y_3|q_3) \cdot P(q_3|q_2) \cdot P(y_2|q_2)\cdot P(q_2|q_1) \cdot P(y_1|q_1) \cdot \pi(\pi_1) \end{aligned} \]??虽然这一方法在直接计算法中没有用到，但是是后面化简都会用到的，所以先写在这儿。

• 直接计算方法

?? 回忆问题，给定模型参数和一个观测序列，计算这个观测序列出现的概率\(P(Y,\lambda)\)，若要直接计算，需考虑我们有哪些已知条件。首先初始状态概率\(\pi\)知道，状态转移概率矩阵A也知道，那么生成和这个观测序列相同长度的状态序列的概率\(P(Q|\lambda)\)就能表示出来了
\[P(Q|\lambda)=\pi_{q_1} a_{q_1q_2}a_{q_2q_3} \cdots a_{q_{t-1}q_{t}}\]??\(P(Y|\lambda)\)不能直接表达的原因是中间还有隐变量——转移状态，在固定状态下的观测概率B是已知的，那么已经得到了一串状态序列的概率，在这串状态序列下的观测是能够表示的，这便得到了
\[P(Y|Q,\lambda) = b_{q_i}(y_1)\cdot b_{q_2}(y_2)\cdots b_{q_t}(y_t)\]??有了这两个概率，隐变量和观测变量的联合概率分布可表示为
\[ \begin{aligned} P(Y,Q|\lambda) =&P(Y|Q,\lambda) P(Q|\lambda)\=&\pi_{q_1}b_{q_1}(y_1)a_{q_1q_2}b_{q_2}(y_1)\cdots a_{q_{t-1}q_t}b_{q_t}(y_t) \end{aligned} \]??对于联合概率分布，可以求解其一个变量的边缘分布的和或积分得到另一个变量的分布，这是机器学习中常见的 手段，应熟练掌握，现对状态序列求和
\[ \begin{aligned} P(Y|\lambda) =& \sum_QP(Y|Q,\lambda) P(Q|\lambda)\=& \sum_{q_t}^K \cdots \sum_{q_1}^K\pi_{q_1}b_{q_1}(y_1)a_{q_1q_2}b_{q_2}(y_1)\cdots a_{q_{t-1}q_t}b_{q_t}(y_t) \end{aligned} \]??这个计算量是非常大的，T个观测序列，每个序列有K种可能的状态，且内部还有T个乘积需要计算，相当于T个for循环，每个循环执行K次，每次的复杂度T，那么总复杂度\(O(TK^T)\)。

• 前向算法

??为了简化，首先定义了前向概率表达，对于隐马尔可夫模型\(\lambda\)，定义在时刻 t 的观测序列为\((y_1,y_2,...,y_t)\)且状态为\(q_t = i\)的概率为前向概率\(\alpha_t(i)\)，即
\[ \alpha_t(i) = P(y_1,y_2,...,y_t,q_t = i |\lambda) \]??下面通过这个前向概率推导\(P(Y|\lambda)\)的递推表达式
\[ \begin{aligned} \alpha_1(i) = & P(y_1,q_1 = i | \lambda)\=&\pi(\pi_i)bi(y_1)\,&\\alpha_2(i)=&P(y_1,y_2,q_2 = i)\=&\sum_jP(y_1,y_2,q_2 = i,q_1 = j)\=&\sum_jP(y_2|q_2 = i)P(q_2 = i|q_1 =j)\cdot \alpha_1(j)\=&P(y_2|q_2)\sum_jP(q_2 = i|q_1 = j) \cdot \alpha_1(j)\&\cdots\\alpha_t(i)=&P(y_t|q_t = i)\sum_jP(q_t = i|q_{t-1} = j) \cdot \alpha_{t-1}(j)\=&b_i(y_t)\sum_ja_{ji}\cdot \alpha_{t-1}(j) \end{aligned} \]??注意求第二个前向概率的时候，为了化简式子，引入了\(q_1\)但将它当作边缘概率求和去掉了。这个递推式就这样神奇的得到了 t 时刻状态为 \(q = i\) 的概率，得到t 时刻的前向概率的表达式后，根据它的定义\(\alpha_T(i) = P(y_1,y_2,...,y_T,q_t = i|\lambda)\)可知，计算\(P(Y|\lambda)\)只需要将 t 时刻的所有状态的概率求和就可以了（边缘概率）
\[P(Y|\lambda) = \sum_i^K\alpha_T(i)\]??而且这个递推式极大的简化了计算量，因为在计算下一个时刻的前向概率的时候，上一个时刻的前向概率是已经算出来了的，只需做少量乘法，最后的复杂度为\(O(KT)\)。

• 后向算法

??明白前向算法的推导过程后，后向算法的思想其实是一样的，并且得到的结果都一样，只不过后向是从后面往前面推，前向可与后向算法组合在一起表达\(P(Y|\lambda)\)
定义：
??给定隐马尔可夫模型\(\lambda\)，定义在 t 时刻 且状态为\(q_t = i\)的条件下，从 t + 1 时刻到 T 时刻的观测序列的概率为后向概率，即
\[\beta_t(i) = P(y_{t+1},y_{t+2},...,y_T| q_t = i, \lambda) \]??注意观测数据是从 t + 1 时刻开始的，并且\(\beta_t(i) = 1\)，
\[ \begin{aligned} \beta_T(i) = & 1\,&\\beta_{T-1}(i)=&P(y_T|q_{T-1} = i,\lambda)\=&\sum_{j}^KP(y_T,q_T=j|q_{T-1} = i,\lambda)\=&\sum_j^KP(y_T|q_T =j)P(q_T = j|q_{T-1} =i)\=&\sum_j^Kb_j(y_T)a_{ij} \beta_T(j)\&，\\beta_{T-2}(i)=&P(y_{T-1},y_T|q_{T-2} = i, \lambda)\=&\sum_{j}^K P(y_{T-1},y_T,q_{T-1} = j|q_{T-2} = i, \lambda)\(乘法公式）=&\sum_{j}^K P(y_T|q_{T-1} = j)\cdot P(y_{T-1}|q_{T-1}=j)\cdot P(q_{T-1}=j|q_{T-2} = i,\lambda)\=&\sum_j^K \beta_{T-1}(j)\cdot b_j(y_{T-1})a_{ij}\&\cdots\\beta_t(i)=&\sum_j^K\beta_{t+1}(j)\cdot b_j(y_{t+1})\cdot a_{ij} \end{aligned} \]??同样，得到后向概率的表达式后，根据其定义\(\beta_t(i) = P(y_{t+1},y_{t+2},...,y_T| q_t = i, \lambda)\)，所求序列为1-T，但t 至少为1 ，这使得该表达式缺少了第一个观测值的概率，不过这很简单，乘上\(\pi_i b_{i}(y_1)\)即可，通过后向概率得到\(P(Y|\lambda)\)
\[ P(Y|\lambda) = \sum_i^K\pi_i b_i(y_1)\beta_1(i) \]??从刚刚这个求和运算中发现后向概率的定义从 t + 1 时刻开始似乎不方便，但是当它和前向概率结合时，就会发现，应当如此！

• 通过前向与后向概率表达一些重要概率

??（1）计算\(P(q_t = i|Y,\lambda),Y = (y_1,y_2,...y_T)\)时，即计算给定一串序列情况下其第 t 时刻的状态为 i 的几率，利用前向与后向概率，先计算t 时刻状态与观测的联合分布
\[ \begin{aligned} P(Y,q_t = i | \lambda) = &P(Y|q_t = i)\cdot P(q_t = i)\=& P(y_1,\cdots,y_t|q_t = i)\cdot P(y_{t+1},\cdots ,y_T|q_t = i)\cdot P(q_t = i)\=& P(y_1,\cdots,y_t,q_t = i)\cdot P(y_{t+1},\cdots ,y_T|q_t = i)\=& \alpha_t(i)\cdot \beta_t(i) \end{aligned} \]??即序列中某个时刻 t 的状态与观测的联合分布可用前向与后向拼接而成，由该联合分布可得观测的分布
\[P(Y|\lambda) = \sum_i^KP(Y,q_t = i|\lambda)=\sum_i^K\alpha_t(i)\beta_t(i)\]??再根据条件概率或乘法公式
\[P(q_t = i|Y,\lambda) =\frac {P(Y,q_t = i|\lambda)} {P(Y|\lambda)}= \frac {\alpha_t (i) \beta_t(i)} {\sum_i\alpha_t(i) \beta_t(i)}\]
??（2）给定模型参数和观测序列Y，求在时刻 t 处于状态 i 且在时刻 t + 1 处于状态 j 的概率,大概已经找到窍门了，就是通过其联合概率和观测概率
\[ \begin{aligned} P(q_t =i,q_{t+1}=j|Y,\lambda) = & \frac {P(q_t =i ,q_{t+1} = j,Y, \lambda)} {P(Y|\lambda)}\=& \frac {P(q_t =i ,q_{t+1} = j,Y, \lambda)} {\sum_i^K\sum_j^KP(q_t =i ,q_{t+1} = j,Y, \lambda)}\\end{aligned} \]其中，
\[ \begin{aligned} P(&q_t =i ,q_{t+1} = j,Y, \lambda)\=&P(Y|q_t=i,q_{t+1} = j)P(q_t=i,q_{t+1} = j)\=&P(y_T,y_{T-1},\cdots,y_{t+1}|q_t=i,q_{t+1}=j)P(y_t,\cdots,y_1|q_t=i,q_{t+1}=j)P(q_{t+1}=j,q_t=i)P(q_t=i)\=&P(y_T,y_{T-1},\cdots,y_{T+2}|q_{t+1}=j)P(y_{T+1}|q_{t+1} = j)P(y_T,\cdots,y_1,q_t=i)P(q_{t+1}=j,q_t = i)\=&\beta_{t+1}(j)b_j(y_{t+1})\alpha_t(i)a_{ij} \end{aligned} \]??此过程中应仔细考虑马尔可夫的两个基本假设，确定其中哪些变量是相互独立的，还有哪些是我们之前已经求出来的。这里以 t 和 t + 1 为界将观测量分开，这样时刻 t 和 时刻 t + 1 的状态都只能作用 于其中一边了。带入原式
\[ P(q_t =i,q_{t+1}=j|Y,\lambda) = \frac {\alpha_t(i)a_{ij}b_j(y_{t+1})\beta_{t+1}(j)} { \sum_i^K\sum_j^K\alpha_t(i)a_{ij}b_j(y_{t+1})\beta_{t+1}(j)} \]
（3）上面计算出的两个概率求和可以方便的表示一些有用的期望
?? 1> 在观测Y下状态 i 出现的期望
\[ \sum_t^TP(q_t=i|Y,\lambda) \]??2> 在观测Y下由状态 i 转移的期望
\[ \sum_i^{T-1}P(q_t = i | Y, \lambda) \]?? 3>在观测Y下由状态 i 转移到状态 j 的期望
\[ \sum_i^{T-1} P(q_t = i,q_{t+1} = j|Y, \lambda) \]

3. 学习算法

统计学习方法10—隐马尔可夫模型推导

原文：https://www.cnblogs.com/breezezz/p/11180911.html