格雷码

时间：2014-08-14 23:05:01 阅读：814 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

B 连环锁 37% 7 19

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描述

许多人一定很熟悉九连环（如下图），九个环被串在一起，操作规则如下：第一个（右边）环可以任意装卸，如果第k个环没有被卸掉，而第k个环前边（右边）的所有环都被卸掉，则第k+1个环（第k个环左边的环）可以任意装卸（如果存在的话）。
用0表示此换被卸掉，1表示此环没有被卸掉，则九连环的每个状态可以用一个长度为9的二进制串来表示，如：111111001经过一次操作可以变成111111000，也可以变成111111011，111111111经过一次操作可以变成111111110，也可以变成111111101。
bubuko.com,布布扣

任务描述：
你现在要操作的是一个n连环，n为正整数，给出n连环的两种状态，计算出从第一种状态变换到第二种状态所需要的最少步数。

输入

第一行是一个正整数m，表示有m组测试数据。
每组测试数据一共3行，第一行是一个正整数n (0 < n < 128)，后两行每一行描述一种状态，n个数（0或1），用空格隔开。

输出

对于每一组测试数据输出一行，一个非负整数，表示从第一种状态变换到第二种状态所需要的最少步数。

样例输入

样例输出

7
11

接触到这个是因为 pkusc2013

尝试的人很少一开始觉得会是状态压缩dp类的不过很明显不是。2^128种状态去吃翔吧，而且其实变换的方式也是固定套路，不存在方案的选择。因此理论上来说，递推是可行的，这种方式似乎比较像汉诺塔。

这里我们说的是另外一种方法——格雷码

介绍是《九连环与格雷码不得不说的故事》【转】

分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。

第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。

　　00000－00000－0－00000

　　10000－00001－1－00001

　　11000－00011－2－00010

　　01000－00010－3－00011

　　01100－00110－4－00100

　　11100－00111－5－00101

　　10100－00101－6－00110

　　00100－00100－7－00111

　　00110－01100－8－01000

　　10110－01101－9－01001

　　11110－01111－10－01010

　　01110－01110－11－01011

　　01010－01010－12－01100

　　11010－01011－13－01101

　　10010－01001－14－01110

　　00010－01000－15－01111

　　00011－11000－16－10000

　　10011－11001－17－10001

　　11011－11011－18－10010

　　01011－11010－19－10011

　　01111－11110－20－10100

　　11111－11111－21－10101

　　我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码！这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是

　　10111－11101－22－10110

　　00111－11100－23－10111

　　00101－10100－24－11000

　　10101－10101－25－11001

　　11101－10111－26－11010

　　01101－10110－27－11011

　　01001－10010－28－11100

　　11001－10011－29－11101

　　10001－10001－30－11110

　　00001－10000－31－11111

　　这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。

　　注由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；如果是1，该数字改变（0变为1，1变为0）。例，二进制数11011的格雷码是10110.

　　由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变；如果是奇数，该数字改变。

　　例格雷码11011表示为二进制数是10010.

　　以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。

　　例设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步？过程如何？

　　解初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327.二者差326－141＝186，完整解法需要186步。

但其实，格雷码的转换不需要那么麻烦，这里给出一种简单的方式

异或转换

二进制码→格雷码（编码）：

此方法从对应的n位二进制码字中直接得到n位格雷码码字，步骤如下：

对n位二进制的码字，从右到左，以0到n-1编号
如果二进制码字的第i位和i+1位相同，则对应的格雷码的第i位为0，否则为1（当i+1=n时，二进制码字的第n位被认为是0，即第n-1位不变）[5]

公式表示：

（G：格雷码，B：二进制码）

例如：二进制码0101，为4位数，所以其所转为之格雷码也必为4位数，因此可取转成之二进位码第五位为0，即0 b3 b2 b1 b0。

0 xor 0=0，所以g3=0

0 xor 1=1，所以g2=1

1 xor 0=1，所以g1=1

0 xor 1=1，所以g0=1

因此所转换为之格雷码为0111

格雷码→二进制码（解码）：

从左边第二位起，将每位与左边一位解码后的值异或，作为该位解码后的值（最左边一位依然不变）。依次异或，直到最低位。依次异或转换后的值（二进制数）就是格雷码转换后二进制码的值。

公式表示：

（G：格雷码，B：二进制码）

原码：p[n:0]；格雷码：c[n:0](n∈N）；编码：c=G(p）；解码：p=F(c）；

书写时按从左向右标号依次减小，即MSB->LSB，编解码也按此顺序进行

举例：

如果采集器器采到了格雷码：1010

就要将它变为自然二进制：

0 与第四位 1 进行异或结果为 1

上面结果1与第三位0异或结果为 1

上面结果1与第二位1异或结果为 0

上面结果0与第一位0异或结果为 0

因此最终结果为：1100 这就是二进制码即十进制 12

当然人看时只需对照表1一下子就知道是12

...................c[n]=p[n]，

练习的话 POJ1832、1090

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格雷码

原文：http://www.cnblogs.com/lcj2018/p/3913322.html

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