圆锥曲线一般指椭圆、双曲线、抛物线；但由于圆和椭圆有近亲关系，都是封闭曲线，且椭圆的两个焦点合二为一时，椭圆就变成了圆；双曲线和抛物线都是非封闭曲线，这两个和前两个的区别就挺大了。
- 直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系
1、从几何角度看，直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系可以分为三类：①无公共点；②仅有一个公共点；③有两个相异的公共点；
2、从数的角度看，可以通过代入法用代数的方法求解判断。通常是将直线\(l\)的方程\(Ax+By+C=0(A^2+B^2\neq 0\)，或者说\(A\)，\(B\)不同时为\(0\))，代入圆锥曲线\(C\)的方程\(F(x，y)=0\)中，消去\(y\)(或者\(x\))得到一个关于变量\(x\)(或者变量\(y\))的一元方程(仿二次方程)，即由\(\left\{\begin{array}{l}{Ax+By+C=0}\\{F(x，y)=0}\end{array}\right.\)，消去\(y\)得到\(ax^2+bx+c=0\)；
（1）当\(a\neq 0\)时，设一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的判别式为\(\Delta\)，则有
\(\Delta >0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相交于不同的两点；
\(\Delta =0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相切；
\(\Delta <0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相离，无公共点；
（2）当\(a=0\)，\(b\neq 0\)时，即得到一个一次方程，则直线\(l\)与圆锥曲线相交，且只有一个交点；此时
若\(C\)为双曲线，则直线\(l\)与双曲线\(C\)的渐近线的位置关系是平行；
若\(C\)为抛物线，则直线\(l\)与抛物线\(C\)的对称轴的位置关系是平行或者重合；
法1：从数的角度思考分析，类比\(y=kx+1\)恒过定点\((0，1)\)的方法思路，令\(y=0\)，得到\(x^2=1\)，故上述曲线恒过定点\((\pm 1，0)\);
法2：从形的角度思考分析，变形得到\(\cfrac{x^2}{1}+\cfrac{y^2}{\frac{1}{\lambda}}=1\)，用动态的观点思考，当\(\lambda\)变化时，椭圆或者双曲线与\(x\)轴的交点坐标\((-1，0)\)和\((1，0)\)始终不变，故曲线恒过定点\((\pm 1，0)\);
法1：常规方法求解，\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)
法2：特殊化策略思考，当我们将直线由一般的有斜率的情形特殊化为无斜率的情形时，应该没有改变题目中的已知条件，故可以思考用特殊化策略，此时能轻松得到\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)；
分析：椭圆上任意一点的坐标的参数方程为\((\sqrt{5}cos\theta，sin\theta)\)，\(\theta\in [0，2\pi)\)，
则\(x+y=\sqrt{5}cos\theta+sin\theta=\sqrt{6}sin(\theta+\phi)\)，故\(x+y\in [-\sqrt{6}，\sqrt{6}]\);
解后反思：椭圆的参数方程的优越性；变量集中；三角函数；求值域中的三角换元；知一求二类[(\(sinx+cosx\)，\(sinx-cosx\)，\(sinx\cdot cosx\))(奇偶性，周期性，对称性)]
法一：从数的角度思考，常规方法，将直线\(y=kx-k+1\)代入椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)中，[注意运算技巧]
化简整理为\((9k^2+4)x^2+18k(1-k)x+9(1-k^2)=0\)，\(\Delta =\cdots=1152k^2+288k+4\times 108>0\)，
则直线和椭圆相交，故选\(A\)。
法2：从形的角度思考，将直线变形为\(y-1=k(x-1)\)，则可知其恒过定点\((1，1)\)，
将\((1，1)\)代入\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}\)，得到\(\cfrac{1^2}{9}+\cfrac{1^2}{4}<1\)，即点\((1，1)\)在椭圆内，
则直线和椭圆必然相交，故选\(A\)。
原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11265541.html