统计学基础之数据分布
学习几种常用的数据分布
1、正态分布
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形。
定义：若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
（1）如果 
且a与b是实数，那么
。
（2）如果 
与
是统计独立的正态随机变量，那么：它们的和也满足正态分布
U与V两者是相互独立的。
（3）如果
和
是独立常态随机变量，那么：它们的积XY服从概率密度函数为p的分布
其中
是修正贝塞尔函数。它们的比符合柯西分布，满足
2、二项分布
二项分布是由伯努利提出的概念，指的是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
属性：
每个试验都是独立的。
在试验中只有两个可能的结果：成功或失败。
总共进行了n次相同的试验。
所有试验成功和失败的概率是相同的。
重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。
二项分布公式
如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复实验中发生K次的概率是
P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k) =n!/(k!(n-k)!)，注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p)
期望：Eξ=np；
方差：Dξ=npq；
其中q=1-p
3、泊松分布
泊松分布的概率函数为：
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为
特征函数为
泊松分布与二项分布
泊松分布在满足以下条件的情况下是二项式分布的极限情况：
• 试验次数无限大或n → ∞。
• 每个试验成功的概率是相同的，无限小的，或p → 0。
• np = λ，是有限的。
4、均匀分布
均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。
均匀分布的概率密度函数为：
若a = 0并且b = 1，所得分布U（0,1）称为标准均匀分布。
标准均匀分布的一个有趣的属性是，如果u1具有标准均匀分布，那么1-u1也是如此。
（1）如果X服从标准均匀分布，则通过逆变换方法，
具有指数分布参数
。
（2）如果X服从标准均匀分布，则Y = Xn具有参数（1 / n，1）的β分布。
（3）如果X服从标准均匀分布，则Y = X也是具有参数（1,1）的β分布的特殊情况。
（4）两个独立的，均匀分布的总和产生对称的三角分布
5、伯努利分布
伯努利分布亦称“零一分布”、“两点分布”。称随机变量X有伯努利分布, 参数为p(0<p<1),如果它分别以概率p和1-p取1和0为值。EX= p,DX=p(1-p)。伯努利试验成功的次数服从伯努利分布,参数p是试验成功的概率。伯努利分布是一个离散型机率分布，是N=1时二项分布的特殊情况
随机变量X服从参数为p的伯努利分布，则X的概率函数：
f(x|p)=px(1−p)1−xx=0或1f(x|p)=px(1−p)1−xx=0或1
均值与方差：
u=p;var=p∗(1−p)
伯努利与二项分布之间的关系：
• 伯努利分布是具有单项试验的二项式分布的特殊情况。
• 伯努利分布和二项式分布只有两种可能的结果，即成功与失败。
• 伯努利分布和二项式分布都具有独立的轨迹。
6、卡方分布
若n个相互独立的随机变量ξ?，ξ?，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。
若n个相互独立的随机变量ξ?、ξ?、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和 
构成一新的随机变量，其卡方分布分布规律称 
分布（chi-square distribution），其中参数
称为自由度，正如正态分布中均数或方差不同就是另一个正态分布一样，自由度不同就是另一个 分布。记为 
或者
卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度
很大时，
分布近似为正态分布。对于任意正整数x， 自由度为
的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
7、beta分布
贝塔分布（Beta Distribution) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数，在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中，贝塔分布，也称Β分布，是指一组定义在(0,1) 区间的连续概率分布。
在概率论中，贝塔分布，也称B分布，是指一组定义在 
区间的连续概率分布，有两个参数
。1.概率密度函数
是Γ函数。随机变量X服从参数为 
的Β分布通常写作
统计学基础之数据分布
原文：https://www.cnblogs.com/zym-yc/p/11300186.html
它们的差也满足正态分布
为独立标准常态随机变量，那么
的积分值。 概率密度函数有时为0，有时为
，概率密度可以写为：
，
其中
