莫比乌斯反演

##积性函数\[\forall p,q \wedge gcd(p,q)=1 , f(pq)=f(p)*f(q)\]

\(\mu\)函数定义

\[ n=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}\cdots*a_k^{p_k}\\mu(n)=\left\{ \begin{array}{lr} 1,n = 1\ (-1)^k,a_i=1\ 0,otherwise \end{array} \right. \]

\(\mu\)函数性质

1.\[ \sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \]([n=1]表示仅当n=1时返回值为1，其余为0）

2.\[ \sum_{d|n}{\mu(d)\over{d}}={\varphi(n)\over{n}} \]

线性筛莫比乌斯函数

void init()
{
    memset(vis,0,sizeof vis);
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i)
    {
        if (!vis[i])
        {
            mu[i]=-1;
            prime[++tot]=i;
        }
        for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;++j)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) 
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else 
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}

莫比乌斯反演

若\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]

则有 \[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*F({{n}\over{d}})\]

证明

\[\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)\ =\sum_{p|n}f(p)\sum_{k|\frac{n}{p}}\mu(k)\ \ \ \ (p=dk)\ =\sum_{p|n\wedge p\neq n}f(p)\sum_{k|\frac{n}{p}}\mu(k)+f(n)\sum_{k|1}\mu(k)\\=0+f(n) =f(n) \]

另一种形式

若\[F(n)=\sum_{n|d}f(d)\]

则有 \[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac {d} {n})*F({d})\]

另一种形式证明

\[\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})\sum_{d|p}f(p)\=\sum_{q=1}^{+\infty}\mu(q)\sum_{nq|p}f(p)\ \ \ \ \ (q=\frac{d}{n})\=\sum_{n|p}f(p)\sum_{q|\frac{p}{n}}\mu(q) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \=\sum_{n|p \wedge n\neq p}f(p)\sum_{q|\frac{p}{n}}\mu(q)+f(n)\sum_{q|1}\mu(q)\=0+f(n)=f(n)\\]

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

\[f(d)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [gcd(i,j)=d]\]

\[F(d)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [d|gcd(i,j)]=n/d*m/d\]

\[F(d)=\sum_{d|p} f(p)\]

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac {d} {n})*F({d})\]

\[f(1)=\sum\mu(d)*F({d})\]

莫比乌斯反演

原文：https://www.cnblogs.com/mayiyang/p/11312890.html