二次不等式习题

前言

典例剖析

例1已知不等式\(ax^2-bx-1\ge 0\)的解集是\([-\cfrac{1}{2}，-\cfrac{1}{3}]\)，求不等式\(x^2-bx-a<0\)的解集。

分析：由题目已知条件可知，方程\(ax^2-bx-1= 0\)的两个根是\(x=-\cfrac{1}{2}\)和\(x=-\cfrac{1}{3}\)，

故由韦达定理可知\((-\cfrac{1}{2})+(-\cfrac{1}{3})=-\cfrac{-b}{a}=\cfrac{b}{a}\)，\((-\cfrac{1}{2})\times(-\cfrac{1}{3})=\cfrac{-1}{a}\)，

解得\(a=-6，b=5\)，故所求解集的不等式即为\(x^2-5x+6<0\)，

解得\(2<x<3\)，故\(x\in (2，3)\)。

例2已知二次函数\(f(x)>0\)解集\(\{x\mid x<1或x>3\}\),求\(f(log_2^\;x)<0\)的解集。

分析：由三个二次的关系可知，\(f(x)<0\)的解集为\(\{x\mid 1<x<3\}\)，

故由\(f(log_2^\;x)<0\)可得，\(1<log_2^\;x<3\)，即\(log_2\;2<log_2^\;x<log_2\;8\)，故\(2<x<8\)；

例3【2018届山东菏泽期中】关于\(x\)的不等式\(x^2-(a+1)x+a<0\)的解集中，恰有3个整数，则\(a\)的取值范围是【】

分析：由于\(x\)的不等式\(x^2-(a+1)x+a<0\)可以转化为\((x-a)(x-1)<0\)，

故函数\(f(x)=(x-1)(x-a)\)有两个零点，一个为定零点\(x=1\)，另一个为动零点\(x=a\)，

做出其图像，由图像可知需要分类讨论，

当\(a>1\)时，解集为\((1，a)\)，此时若要包含3个整数，需要\(4<a\leq 5\)；

当\(a<1\)时，解集为\((a，1)\)，此时若要包含3个整数，需要\(-3\leq a<-2\)；

故\(a\in [-3，2)\cup(4，5]\)，故选\(D\)。

例4关于\(x\)的不等式\(ax-b<0\)的解集是\((1,+\infty)\)，则关于\(x\)的不等式\((ax+b)(x-3)>0\)的解集是【】

分析：由不等式\(ax-b<0\)的解集是\((1,+\infty)\)，即\(ax<b\)的解集是\((1,+\infty)\)，则\(a=b<0\)，

故不等式\((ax+b)(x-3)>0\)可化为\((x+1)(x-3)<0\)，解得\(-1<x<3\)，故选\(C\).

例4

二次不等式习题

原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11416216.html