这篇论文主要概述了model-baesd的方法在解决图像恢复的逆问题的很好的效果，降噪问题其实就是前向模型的H是一个恒等算子，将state-of-the-art的降噪算法(先验模型)和相对应的逆问题的求解方法结合是一个困难但是具体前景的工作。 作者提出了一个灵活的框架能够允许性能强大的图像系统的前向模型（forword models ）去匹配j和结合降噪模型和先验模型（denoising model or prior model），以实现图像恢复。
传统的模型涉及两个部分，一个模型是噪声的估计系统，另一个模型是待重构图像模型（比如先验模型），然后通过最小化一个成本函数来计算重构，该函数平衡了这两个模型的拟合。
降噪问题在图像的反演过程中最简单的，因为他的前向模型是一个恒等算子，为新的先验模型的产生创造了肥沃的环境。model-based 逆问题主要关注的是精确的建模大尺度的复杂的前向模型，很少有融合先进的先验模型、降噪方法啊。
-- 因此，基于模型的反演研究往往滞后于先进的先验建模
-- BM3D-based 方法的图像先验模型并不能够直接应用于一般的反演问题
虽然之前也有集合先进的先验模型进入图像的反演问题，但是他们常常是高度定制化的，
当前并没有为一般的model-based图像反演问题，匹配降噪模型作为先验。
方法： 应用ADMM技术，分离变量以实现将MAP估计问题解耦为先验和前模型问题，一个是前向模型一个是先验问题。一个模块对应着降噪算法只依靠于先验，第二个模块对应着应用l2正则化的反演问题只依靠于前向模型。
MAP计算函数去解决反演问题
带求量$\hat{x}$的MAP估计：
$\hat{x}=$argmin-log$p(y|x)$-log$p(x)$
$\hat{x}$argmin$l(y;x)+s(x)$
MAP估计$l(y;x)=\frac{1}{2\sigma_{n}^{2}}||y-x||_{2}^{2}+\frac{M}{2}log(2\phi\sigma_{n}^{2})$
对应着降噪任务，旨在被设计去移除方差为$\sigma_{n}^{2}$的加性高斯白噪声(AWGN)
所以可以再表示为：
$H(y;\sigma_{n}^{2})=\frac{1}{2\sigma_{n}^{2}}||y-x||_{2}^{2}+s(x)$
常常加上增加的正则化参数去控制先验模型在重建上的相对影响：
$\hat{x}$argmin$l(y;x)+\beta s(x)$
变量分离and ADMM
首先分离变量x为两个新的变量x 和 v, 则MAP问题被重新写为：
$(\hat{x},\hat{v}) = $argmin$_{x,v}{l(y;x)+ \beta s(v)}$ 令x=v
使用增广拉格朗如函数(augmented Lagrangian)和ADMM技术去解决这个问题：
$L_{\lambda}(x,v,u) = l(y;x)+ \beta s(v) + \frac{\lambda}{2}||x-v+u||_{2}^{2} - \frac{\lambda}{2}||u||_{2}^{2}$
其中u 是一个缩放的对偶变量(dual variable)，$\lambda$是一个惩罚变量。
$\hat{x} = $ argmin$_{x}L_{\lambda}(x,\hat{v},u)$
$\hat{v} = $argmin$_{v}L_{\lambda}(\hat{x},v,u)$
$u = u + (\hat{x}-\hat{v})$
其中$\lambda$ 对最后的结果没有影响，只是控制ADMM算法的收敛率
如果，$\hat{x} =\hat{v}-u$ 和 $\hat{v}=\hat{x}+u$ ：
论文解读《Plug-and-Play Priors for Model Based Reconstruction》
原文：https://www.cnblogs.com/ChenKe-cheng/p/11440139.html