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一、什么是平衡二叉树

例：搜索树结点不同插入次序，将导致不同的深度和平均查找长度ASL

上图为按照自然月份序列构建的搜索树，它的ASL为\((1+2*2+3*3+4*3+5*2+6*1)/12=3.5\)

上图为按照平衡二叉树构建的搜索树，它的ASL为\(3.0\)

上图为按照月份字符串大小顺序构建的搜索树，他的ASL为\(6.5\)

“平衡因子”（Balance Factor，简称BF）： \(BF(T) = h_L - h_R\)，其中\(h_L\)和\(h_R\)分别为T的左、右子树的高度。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）（AVL树）：空树，或者任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1，即\(BF(T)|\leq{1}\)

二、平衡二叉树的高度能达到\(log_2n\)吗？

如下图所示为完全二叉树的高度计算：

设\(n_h\)为高度为h的平衡二叉树的最少结点数。结点数最少时，我们可以得知左（右）子树最多比右（左）子树多一个结点：

上述公式类似于斐波那契序列： \(F_0=1，F_1=1，F_i=F_{i-1}+F_{i-2}\quad{f}or\quad{i}>1\)，即我们可以通过斐波那契的规律，来探讨平衡二叉树的高度计算。

设\(n_h\)是高度为h的平衡二叉树的最小结点数，有如下推导：

按照上图的推导，我们可以得出：给定结点数为n的AVL树的最大高度为\(O(log_2n)\)

三、平衡二叉树的调整

3.1 右单旋

不平衡的“发现者”是Mar，“麻烦结点”Nov在发现者右子树的右边，因而叫做RR插入，需要RR旋转（右单旋）

3.2 左单旋

“发现者”是Mar，“麻烦结点”Apr在发现者左子树的左边，因而叫LL插入，需要LL旋转（左单旋）

3.3 左-右双旋

“发现者”是May，“麻烦结点”Jan在左子树的右边，因而叫LR插入，需要LR旋转

3.4 右-左双旋

“发现者”是Aug，“麻烦结点”是Feb在右子树的左边，因而叫RL插入，需要LR旋转

3.5 完善平衡二叉树

接下来我们使用上述所说的四种方法，完善我们的平衡二叉树。

调整后的结果为：

平衡二叉树

原文：https://www.cnblogs.com/nickchen121/p/11551579.html