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上一篇中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后得到了在周期为的傅里叶级数的系数解，那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢？
我们先看在周期为的函数傅里叶级数表达:
其对应的解为：
如何将其变为任意周期的函数呢？
其实这里只需要简单的换元操作即可。
举个栗子:其周期为
,
。我们令
,则
,整理下:
所以在对于t来说就变换成了周期为的函数。
so对于周期为（方便计算）的函数f(t) 只需令
带入原周期为
的函数即可：
同样的可以得到：
最后我们得到:
过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。
我们在写一下傅里叶级数的公式：
其中T代表函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是:
想要得到傅里叶级数的复数形式，需要先了解下欧拉公式。
关于欧拉公式，网上有很多的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。
我们先看下公式：
可以看作是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是
，到虚轴的投影是
，其中
便是向量与实轴的夹角。
而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动
随着变化，
就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。
而且通过欧拉公式，我们可以得到三角函数的复数形式：
将上面的复变三角函数替换傅里叶级数中的三角函数得到:
我们令中的n为-n
则得到：
所以可以看到n的范围变成了 到
，并且每一项都有
，于是我们可以得到一个漂亮的形式：
其中分为3中情况：
我们将傅里叶级数之前的解带入上边
这里因为cos是偶函数，sin是奇函数所以：
可以惊奇的发现，三种情况的解是一样的。所以对于任意周期函数，我们都可以写成:
但其中的每一项是什么意思呢？
还记得之前说的的本质吗？在圆上做圆周运动，那么
也是在做周期运动了。那
又是什么呢？
我们知道，所以我们可以把
看成是以
为单位的频率(正常来讲频率是
)。而系数
是就可以看成是几倍的基频，正数是逆时针运动，负数就是顺时针运动。在图形上的反应就是，频率越高，转的越快了
，但其最小公共周期是一样的。
1倍基频
10倍基频
那么系数怎么理解呢？前面说过
的系数a是代表
运动的圆半径，这里
是复数是不是也能这样理解呢？其实粗糙来讲是可以这样理解的。
看个图，只管的理解下把
上图中红色的向量相对于蓝色的向量只是多了系数,所以红色向量运动的半径就是2刚好是复数
的模长乘以1，当然除此之外，红色向量的幅角也变大了些。这些都是因为复数的乘法性质---复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。
这下，当有人和你说傅里叶变换是把时域变换到频域上，你应该就很容易理解是什么意思了。频域就是1倍，2倍，3倍.......的,而每个
都有自己的幅长
,当把这些所有的
相加，就得到时域中的图像。
更加生动有趣的介绍可以参见傅里叶分析之掐死教程，我这里是从数学的角度来介绍傅里叶变换。
目前该证明的都差不多了，还有最后一个任务，就是推广到非周期函数上。对于非周期函数，我们可以看成是周期无限远的函数，那也就是周期T变成的时候傅里叶级数。随则T的变大
也就不断的减小，当T趋近于
的时候，
也由
变成了
，那么很自然就需要对
做积分。
我们先看下
当T趋近于 的时候 我们可以得到：
将这些带入 傅里叶级数,并且T趋近于，就得到:
其中画红圈的地方就是傅里叶变换
一般写成一个关于的函数，其实就相当于前面的:
而整个公式就是傅里叶逆变换，写成：
原文：https://www.cnblogs.com/Sweepingmonk/p/11582386.html