一些奇怪的东西堆在一起

1、如果$gcd(i,j)==1$，且$i+j==k$，那么这样的数对数就是$\phi(k)$。

也就是$gcd(i,j)==1$导出$gcd(i,k-i)==1$，进而$gcd(i,k)==1$，从而转化为$euler$。

2、https://www.cnblogs.com/henry-1202/p/10246196.html

3、https://www.cnblogs.com/Mychael/p/8759124.html

4、https://www.cnblogs.com/remarkable/p/11364178.html

5、$\phi(n)==n*\prod\limits_{i=1}^{k} \left (  \frac{p_i-1}{p_i} \right )$，其中$p_i$表示在唯一分解下的所有质因。

$1\rightarrow n$中$p_1$的倍数有$\frac{n}{p_1}$个，我们将它减去，$p_2$的倍数有$\frac{n}{p_2}$个，我们将其减去，我们把$p_1$和$p_2$的公倍数减掉了2次，加回$\frac{n}{p_1p_2}$，然后得到式子$n*(1-\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_1p_2})$，即$n*(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})$，对所有质因子数学归纳，得到上述结论。

6、$\phi$是积性函数。

一些奇怪的东西堆在一起

原文：https://www.cnblogs.com/Yu-shi/p/11650800.html