此时需要注意，解不等式所需要的函数性质都涵盖在函数的解析式中，所以需要我们自主挖掘这些隐含条件。
分析：做出分段函数的图像，由图像可知函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，则由\(f(2-x^2)>f(x)\)，
得到\(2-x^2>x\)，解得\(-2<x<1\)。
分析：这类题目往往需要取得符号\(f\)，而在此之前，需要转化为\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，
然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。
解析：先求定义域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定义域\((-1，1)\)；
再求奇偶性，\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函数为奇函数；
最后分析单调性，
法一，基本函数法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由于\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)为增函数，
所以函数\(g(x)\)为增函数，故函数\(f(x)=g(x)+sinx\)为\((-1，1)\)上的增函数，
法二，导数法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函数\(f(x)\)为\((-1，1)\)上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，
由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，变换得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，
由定义域和单调性得到以下不等式组：
\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故选\(A\)。
分析：先求定义域，由于\(\sqrt{x^2+1}\ge \pm \sqrt{x^2}\)，故定义域为\((-\infty，+\infty)\)，
又由于\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，故\(f(x)+f(-x)=ln1=0\)，故函数为奇函数。
当\(x\in [0，+\infty)\)时，\(x^2\nearrow\)，\(1+x^2\nearrow\)，\(\sqrt{1+x^2}\nearrow\)，\(x+\sqrt{1+x^2}\nearrow\)，
\(y=ln(x+\sqrt{1+x^2})\nearrow\)，则由奇函数可知在\((-\infty，+\infty)\)上，\(f(x)\nearrow\)，
故由定义域为\(R\)，奇函数，单调递增，则由\(f(x-1)+f(x)>0\)，
得到\(f(x-1)>-f(x)=f(-x)\)，即\(x-1>-x\)，解得\(x>\cfrac{1}{2}\)，即\(x\in (\cfrac{1}{2}，+\infty)\)。
【变式1】已知奇函数\(f(x)\)定义域为\(R\)，且单调递增，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；
【变式2】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(-x)+f(x)=0\)，且在\(x\in [0，+\infty)\)上时，恒有\(f'(x)\geqslant 0\)成立，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；
【变式3】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)图像关于原点对称，且在\(x_1,x_2\in [0，+\infty)\)上时，有\(\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0(x_1\neq x_2)\)成立，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范围；
分析：由\(|x|-1>0\)得到定义域\((-\infty，-1)\cup (1，+\infty)\)；
由于\(y=ln(|x|-1)\)为偶函数，\(y=-log_{0.5}(x^2+1)\)为偶函数，【两个组成部分】
所以\(f(x)\)为偶函数；【整体】
以下主要讨论单调性，先考虑\(x>1\)的情形，
由于\(x>1\)时\(f(x)=ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)，
其中\(y=ln(x-1)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递增，\(y=log_{0.5}(x^2+1)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递减，
故\(f(x)=ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)区间\((1，+\infty)\)上单调递增，
又由于其为偶函数，这样可知\((-\infty，-1)\)上单调递减，
由不等式\(f(x)-f(2x-1)<0\)等价于\(f(|x|)<f(|2x-1|)\)，
其在区间\((1，+\infty)\)上单调递增，
由定义域和单调性二者限制得到，\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1}\\{|2x-1|>1}\\{|x|<|2x-1|}\end{array}\right.\)
上式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{|x|>1①}\\{|x|<|2x-1|②}\end{array}\right.\)
解①得到，\(x<-1\)或\(x>1\)；
解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到\(x<\cfrac{1}{3}\)或\(x>1\)；
二者求交集得到，\(x<-1\)或\(x>1\)，故选\(D\)。
函数的性质需要我们自己总结归纳出来，并主动应用；
（1）求函数\(f(x)\)的单调性；
分析：我们先分析函数中的部分，\(g(x)=a^x-\cfrac{1}{a^x}=a^x-a^{-x}\)，
故\(g(-x)=-g(x)\)，即函数\(g(x)\)为奇函数，故求解如下，
（1）\(f(x)=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot g(x)\)，
\(f(-x)=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot g(-x)=-\cfrac{a}{a^2-1}\cdot g(x)=-f(x)\)，
即函数\(f(x)\)为奇函数，我们先重点分析\(x\in [0，+\infty)\)上的单调性，
①当\(a>1\)时，\(a^2-1>0\)，则\(\cfrac{a}{a^2-1}>0\)，\(lna>0\)
\(f'(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x\cdot lna-a^{-x}\cdot (-x)'\cdot lna)\)
\(=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot lna\cdot (a^x+a^{-x})>0\)，
则函数\(f(x)\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，
由函数为奇函数，则可知\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；
②当\(0<a<1\)时，\(a^2-1<0\)，则\(\cfrac{a}{a^2-1}<0\)，\(lna<0\)
\(f'(x)=\cfrac{a}{a^2-1}(a^x\cdot lna-a^{-x}\cdot (-x)'\cdot lna)\)
\(=\cfrac{a}{a^2-1}\cdot lna\cdot (a^x+a^{-x})>0\)，
则函数\(f(x)\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，
由函数为奇函数，则可知\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；
综上可知，不论\(a\)为何值，函数\(f(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；
（2）若\(f(1-m)+f(1-m^2)<0\)，求实数\(m\)的取值范围；
分析：先将不等式转化为\(f(1-m)<-f(1-m^2)\)，又函数\(f(x)\)为奇函数，则\(-f(1-m^2)=f(m^2-1)\)，
则\(f(1-m)<f(m^2-1)\)，由单调性可知，\(1-m<m^2-1\)，
即\(m^2+m-2>0\)，故所求取值范围为\((-\infty，-2)\cup(1，+\infty)\)。
原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11663781.html