积性函数与Dirichlet卷积

积性函数

定义

若 $gcd(x,y)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为积性函数。

性质

若 $f(x)$ 和 $f(y)$ 均为积性函数，则以下函数为积性函数：

$h(x) = f(x^p)$

$h(x) = f^p(x)$

$h(x) = g(x)f(x)$

$h(x) = \sum_{d|x} f(d)g(\frac{x}{d})$

后面两条性质非常重要，会经常用。它说明了两个积性函数的乘积仍是积性函数、两个积性函数的Dirichlet卷积仍是积性函数。

例如，\begin{aligned}
h(x_1x_2) &= \sum_{d|x_1x_2} f(d)g(\frac{x_1x_2}{d}) \\
&= f(1)g(15) + f(3)g(5) + f(5)g(3) + f(15)g(1) \\
&= [f(1)g(3) + f(3)g(1)]*[f(1)g(5)+f(5)g(1)] \\
&= h(3)h(5)
\end{aligned}

例子

• 单位函数：$\varepsilon(n) = [n=1]$
• 恒等函数：$id_k(n) = n^k$，$id_1(n)$ 通常简记作 $id(n)$
• 常数函数：$1(n)=1$
• 除数函数：$\sigma_k(n) = \sum_{d|n}d^k$，$\sigma_0(n)$ 通常记作 $d(n)$ 或者 $\tau(n)$（表示约数的个数），$\sigma_1(n)$ 通常记作 $\sigma(n)$
• 莫比乌斯函数：$\mu(n)$

Dirichlet卷积

定义

定义两个数论函数 $f,g$的Dirichlet卷积为

$$(f*g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

性质

Dirichlet卷积满足交换律和结合律

其中 $\varepsilon$ 为Dirichlet卷积的单位元（任何函数卷 $\varepsilon$ 都为本身）

例子

$\displaystyle \varepsilon = \mu * 1 \Leftrightarrow  \varepsilon (n) = \sum_{d|n}\mu (d)$

$\displaystyle d = 1*1 \Leftrightarrow d(n) = \sum_{d|n}1$

$\displaystyle \sigma = ID*1 \Leftrightarrow \sigma (n) = \sum_{d|n}d$

$\displaystyle ID = \varphi * 1 \Leftrightarrow ID(n) = \sum _{d|n} \varphi (d)$

$\displaystyle \varphi = \mu * ID \Leftrightarrow \varphi (n) = \sum_{d|n}d\cdot \varphi(\frac{n}{d})$

证明

1、证 $$

积性函数与Dirichlet卷积

原文：https://www.cnblogs.com/lfri/p/11688297.html