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「学习笔记」单位根反演

时间:2019-10-23 09:30:27      阅读:78      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

单位根反演

\[ [n|k]=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ik} \]

证明

首先根据单位根的性质 \(\omega_{n}^{kn} = 1\) ,所以当 \(n |k\) 时每一项都等于 \(1\),有 \(\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \omega_{n}^{ik} = 1\)

\(n|k\) 不成立时,\(\omega_{n}^k\neq 1\) ,等比数列求和得
\[ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ik}=\frac{1}{n}\times\frac{1-\omega_{n}^{nk}}{1-\omega_{n}^k} \]
又因为 \(\omega_{n}^{nk}=1\) ,所以上式为 \(0\) ,得证。

「集训队作业2018」复读机

有一个长度为 \(n\) 的序列,有 \(m\) 种颜色,要求给这个序列染完色之后,每一种颜色的出现次数都能被 \(d\) 整除,求合法的染色方案数。

相当于是集合拼接并去掉集合拼接顺序的影响,直接上 EGF,我们即要求
\[ [x^n](\sum_{i =0}^n [d|i]\frac{x^i}{i!})^m \]

\(d = 1\) :

原式等价于 \([x^n]e^{mx}\) ,第 \(n\) 项的系数就是 \(m^n\) ,其实这个直接就能得到了,小学生计数。

\(d = 2\) :

这里也不用上单位根反演,直接二项式定理展开就好了,类似与 CTS2019 珍珠其中一步的推法。
\[ \begin{align} [x^n](\sum_{i =0}^n [d|i]\frac{x^i}{i!})^m &= [x^n](\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^m \ &=[x^n]\frac{1}{2^m}\sum_{i=0}^m {m \choose i}e^{(2i-m)x} \ &=\frac{1}{2^m}\sum_{i=0}^m {m \choose i}(2i-m)^n \end{align} \]

\(d = 3\) :

前面为什么不上单位根反演是有深层次道理的
\[ \begin{align} [x^n](\sum_{i =0}^n [d|i]\frac{x^i}{i!})^m &= [x^n](\sum_{i=0}^n(\frac{1}{d}\sum_{j=0}^{d-1}\omega_{d}^{ij})\frac{x^i}{i!})^m \\ &= [x^n]\frac{1}{d^m}(\sum_{j=0}^{d-1}\sum_{i=0}^n\frac{(x\omega_d^j)^i}{i!})^m \&= [x^n]\frac{1}{d^m}(\sum_{j=0}^{d-1}e^{x\omega_{d}^j})^m \&=\frac{1}{3^m}\sum_{i+j+k=m}\frac{m!}{i!j!k!}[x^n](e^{ix\omega_{d}^0+jx\omega_{d}^1+kx\omega_{d}^2}) \&=\frac{1}{3^m}\sum_{i+j+k=m}\frac{m!}{i!j!k!}(i\omega_{d}^0+j\omega_{d}^1+k\omega_{d}^2)^n \end{align} \]

因为这里单位根反演复杂度是 \(\mathcal O(k^{d-1})\)

「学习笔记」单位根反演

原文:https://www.cnblogs.com/mangoyang/p/11723825.html

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