已知\(\triangle ABC\)的内角\(A,B,C\)所对的边分别为\(a,b,c\),若\(a=\sqrt{2}\),\(b^2-c^2=6\),则角\(A\)最大时,\(\triangle ABC\)的面积等于\(\underline{\qquad\qquad}.\)
解析:
法一 由题有\[
\begin{split}
\cos A&=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{b^2+c^2-2}{2bc}\ &=\dfrac{b^2+c^2-\dfrac{1}{3}\left(b^2-c^2\right)}{2bc}\ &=\dfrac{b}{3c}+\dfrac{2c}{3b}\ &\geqslant \dfrac{2\sqrt{2}}{3}.
\end{split}\]
当且仅当\[\left(\dfrac{b}{3c}=\dfrac{2c}{3b}\right)\land \left(b^2-c^2=6\right)\]即\((b,c)=\left(2\sqrt{3},\sqrt{6}\right)\)时等号成立.因此\(\cos A\)的最小值为\(\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\),此时\(A\)最大,所求三角形面积为\[
S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\sqrt2.\]
法二 建立如图所示的平面直角坐标系,设\(A(x,y)\),
原文：https://www.cnblogs.com/Math521/p/11733750.html