大意是：求证
\[\sum_{d|n} \varphi(d)=n\]
定理①：
\[\sum_{z|mn}\varphi(z)=\sum_{x|m}\varphi(x)\sum_{y|m}\varphi(y)(\gcd(m,n)=1)\]
有\(\sum\)在里面不太好看，设\(m\)的所有因数为:
\(a_1,a_2...a_k\),
\(n\)的所有因数为:
\(b_1,b_2...b_l\)
乘起来后易得：
\[\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^l\varphi(a_i)\varphi(b_j)=\sum_{x|m}\varphi(x)\sum_{y|m}\varphi(y)=\sum_{z|mn}\varphi(z)\]
所以该结论成立。
定理②：
\[\varphi(a^b)=a^b-a^{b-1}\]
其中\(a\)是质数。
在\([1,a^b]\)中，只有\(a\)的倍数与\(a^p\)不互质共有\(a^{b-1}\)个
所以该结论成立。
运用该结论，我们知道
\(\sum_{d|p^m}\varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+...+\varphi(p^m)\)(\(p\)是质数)
\(=1+\sum\limits_{i=1}^m(p^i-p^{i-1})\)
\(=1+(p-1)(1+\sum\limits_{i=1}^{m-1}p^i)\)
\(=1+\sum\limits_{i=1}^mp^i-(1+\sum\limits_{i=1}^{m-1}p^i)=p^m\)
所以：
\[\sum_{d|n} \varphi(d)=\prod_{i=1}^m\sum_{d|p_i^{c_i}}d=\prod_{i=1}^mp_i^{c_i}=n\]
\(SO\) :
\[\sum_{d|n} \varphi(d)=n\]
完结撒花~~~
原文：https://www.cnblogs.com/defense/p/11745876.html