以树的重心为根时，所有的子树（不算整个树自身）的大小都不超过整个树大小的一半。
找到一个点，其所有的子树中最大的子树节点数最少，那么这个点就是这棵树的重心。
删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。
树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的；如果有两个重心，那么他们的距离和一样。
把两棵树通过一条边相连得到一棵新的树，那么新的树的重心在连接原来两个树的重心的路径上。
在一棵树上添加或删除一个叶子，那么它的重心最多只移动一条边的距离。
求法：利用第二个性质
struct CenterTree { int n; int ans; int siz; int son[maxn]; void dfs(int u, int pa) { son[u] = 1; int res = 0; for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) { int v = edges[i].to; if (v == pa) continue; dfs(v, u); son[u] += son[v]; res = max(res, son[v]); } res = max(res, n - son[u]); if (res < siz) { ans = u; siz = res; } } int getCenter(int x) { ans = 0; siz = INF; dfs(x, -1); return ans; } }
另一道有意思的题http://codeforces.com/contest/686/problem/D
解法： 利用重心的性质，某一个点的重心在最大(节点最多)的那个子树上，并且在在这个节点到最大子树的重心之间，重心满足num[x] * 2 > = num[u]，x为重心，u为要求重心的节点，num[]代表这个节点的子树的节点个数。
因为只要找到num[x] * 2 > = num[u] 的x就停止，证明在x儿子的时候还是满足(num[son[x]] * 2 < num[u] )的， 当x被erase后 剩下的最大子树的节点绝对不会超过num[u]/2, 所以x就是重心;
某人代码
void dfs(int u) { num[u] = 1; int pos,t = 0; for(int i = 0; i < g[u].size(); i ++) { int v = g[u][i]; dfs(v); if(num[v] > t)t = num[v],pos = v; num[u] += num[v]; } if(num[u] == 1 || num[u] == 2) { ans[u] = u; return; } int x= ans[pos]; while(num[x] * 2 < num[u]) x = fa[x]; ans[u] = x; }
原文：https://www.cnblogs.com/ertuan/p/11809694.html