关于数学素养的思考

前言

数学思维

我们学习过求解这样的题目，使用换元法求解的。

如已知\(f(x)+2f(-x)=2x+3\)，求\(f(x)\)的解析式；

再如已知\(3f(x)+f(\cfrac{1}{x})=x\)，求\(f(x)\)的解析式。

例1【2016湖南东部六校联考】对于问题\(“\)已知关于\(x\)的不等式\(ax^2+bx+c>0\)的解集为\((-1，2)\)，解关于\(x\)的不等式\(ax^2-bx+c>0”\)，给出如下一种解法：

由\(ax^2+bx+c>0\)的解集为\((-1，2)\)，得到\(a(-x)^2+b(-x)+c>0\)的解集为\((-2，1)\)，

即关于\(x\)的不等式\(ax^2-bx+c>0\)的解集为\((-2，1)\)。

参考上述解法，若关于\(x\)的不等式\(\cfrac{k}{x+a}+\cfrac{x+b}{x+c}<0\)的解集为\((-1，-\cfrac{1}{3})\cup(\cfrac{1}{2}，1)\)，则关于\(x\)的不等式\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)的解集为________.

分析：对题目中内容的解析，由于\(ax^2+bx+c>0\)的解为\(-1<x<2\)，即解集为\((-1，2)\)；

故当给上述内容用\(-x\)替换\(x\)时，不等式中和解集中的\(x\)都必须替换；

则得到\(a(-x)^2+b(-x)+c>0\)的的解为\(-1<-x<2\)，即解集为\((-2，1)\)，

即关于\(x\)的不等式\(ax^2-bx+c>0\)的解集为\((-2，1)\)。

解析：本题目对学生的思维的灵活性要求比较高，需要有一定的数学素养的储备。

关于\(x\)的不等式\(\cfrac{k}{x+a}+\cfrac{x+b}{x+c}<0\)的解集为\(x\in (-1，-\cfrac{1}{3})\cup(\cfrac{1}{2}，1)\)，

所以用\(\cfrac{1}{x}\)同时代换原不等式和其对应解集中的\(x\)，

则不等式\(\cfrac{k(\cfrac{1}{x})}{a(\cfrac{1}{x})+1}+\cfrac{b(\cfrac{1}{x})+1}{c(\cfrac{1}{x})+1}<0\)的解为\(-1<\cfrac{1}{x}<-\cfrac{1}{3}\)或\(\cfrac{1}{2}<\cfrac{1}{x}<1\)，

上述不等式整理得到，\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)

上述的解集整理得到，\(-3<x<-1\)或\(1<x<2\)，

即就是\(x\)的不等式\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)的解集为\((-3，-1)\cup(1，2)\)。

感悟思考：本题目的求解不是常规的求各个系数的值，然后按照常规解不等式，而是巧妙运用代换法求解，即将解集代换，将不等式代换。

例2【求函数的零点个数，能解则解】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2-|x|，x\leq 2}\\{(x-2)^2，x>2}\end{array}\right.\)，记\(g(x)=3-f(2-x)\)，则函数\(y=f(x)-g(x)\)的零点个数为【2】个。

分析：由\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2-|x|，x\leq 2}\\{(x-2)^2，x>2}\end{array}\right.\)，得到

\(f(2-x)=\left\{\begin{array}{l}{2-|2-x|，2-x\leq 2}\\{(2-x-2)^2，2-x>2}\end{array}\right.\)，

即\(f(2-x)=\left\{\begin{array}{l}{2-|2-x|，x\ge 0}\\{x^2，x<0}\end{array}\right.\)，

再分类讨论去掉绝对值符号得到

\(f(2-x)=\left\{\begin{array}{l}{4-x，x>2}\\{x，0\leq x\leq 2}\\{x^2，x<0}\end{array}\right.\)，

故当\(x<0\)时，\(g(x)=3-x^2\)，\(f(x)=2+x\)，

当\(0\leq x\leq 2\)时，\(g(x)=3-x\)，\(f(x)=2-x\)，

当\(x>2\)时，\(g(x)=x-1\)，\(f(x)=(x-2)^2\)，

由函数\(y=f(x)-g(x)\)的零点个数即为方程\(f(x)=g(x)\)的根的个数，故有

当\(x<0\)时，\(3-x^2=2+x\)，解得\(x=\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)或\(x=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)(舍去)；

当\(0\leq x\leq 2\)时，\(3-x=2-x\)，则方程无解；

当\(x>2\)时，\(x-1=(x-2)^2\)，即\(x^2-5x+5=0\)，解得\(x=\cfrac{5+\sqrt{5}}{2}\)或\(x=\cfrac{5-\sqrt{5}}{2}\)(舍去)；

故方程\(f(x)=g(x)\)的根的个数为\(2\)个，即函数\(y=f(x)-g(x)\)的零点个数为\(2\)个。

关于数学素养的思考

原文：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11848080.html